운동량 보존 법칙 증명 - undonglyang bojon beobchig jeungmyeong

'보존 법칙'은 물리에서 가장 중요한 특성 중에 하나입니다. 보존 법칙은 몇 가지가 있는데, 그 중에서 첫번째 보존 법칙에 해당하는 것이 바로

'운동량 보존 법칙' 입니다. 오늘은 그 점에 대해 자세히 분석해보도록 할 겁니다. 일단, 오늘 주제를 한번 음미해 봅시다.

<운동량 보존 법칙> 

 마찰이 없는 수평면에서 아래와 같이 질량 m₁, m₂ 인 물체가 v₁, v₂의 속도로 충돌하고,

충돌 이후의 속도를  v₁` , v₂` 라고 하면, 아래와 같은 법칙이 성립하고, 이와 같은 법칙을 '운동량 보존 법칙' 이라고 한다.

저 상황을 다시 이야기해보면 초기에 충돌할 때, m₁인 물체가 v₁이란 속도로 달려가고 있고, m₂인 물체가 v₂로 달려가던 상황에서 부딫치고, 그것에 대한 충격력으로 되팅겨 나갈 때, 충돌 전의 각각의 운동량을 합한 것과, 충돌 후의 각각의 운동량의 합은 같다는 겁니다. 상황을 부여해 봅시다.

4kg 짜리 물체 A가  4m/s 의 속력으로 오른쪽 방향으로 달려오고 있었고, 1kg 짜리 물체 B가 2m/s 속도로 왼쪽 방향으로 달려 오고 있었다고 칩시다. 그럼 위의 중간 그림처럼, 물체 A와 B는 어느 순간에 '어랏 쾅!'하고 충돌하겠죠.. 그러면, 충격력에 의해 (힘을 받으니까) 물체는 운동 양태를 바꿀것이 분명합니다. 이 때 A란 물체가 1m/s 의 속도로, 아까 운동했던 방향과 반대 방향으로 간다고 합시다. 그렇다면 물체 B의 속도는 어떻게 될까요? (단, 수평면의 마찰은 없다고 가정합시다.)

저, 위대한 법칙을 그냥 적용해 보는 활동을 할 겁니다. 단지, 저 법칙이 어떻게 적용되고 있는지, 맛보기를 한다는 거죠.(그러나 이게 물리의 본질은 아니지만)

그럼, 왼쪽 상황에 대해서 우리는 계산을 할 수가 있는데, 이렇게 간단한 거라도! '제발!!' 주의하시길...

 물리에서의 정신줄은 벡터랍니다.

  ' 4m/s 의 속력으로 오른쪽 방향 ' , '  2m/s의 속도로 왼쪽 방향방향과 크기가 있는 벡터량을 항시 생각해야 합니다. ' 이렇게

따라서, 그걸 고려할 때 오른쪽 방향으로 움직이는 것에 대해서는 + 부호를, 왼쪽 방향으로 움직이는 것에 대해서는 반대 부호를 붙여서..

이렇게 쓸 겁니다. (물론, 단위는 kg·m/s 인데, 편의상 생략 하였습니다.)

 그럼, 충돌 후에 대해선 우리는 또 각각의 운동량을 합산한 표현을 써 줄 수가 있는데, 우리는 모르는 미지수 하나가 있습니다. v_2 ` 의 정보를 모르는거죠... 그러니까,

어허잇! 여기서도 4kg 물체 A에 대응되는 속도 v_2 에 마이너스가 들어가야 한다는 사실을 잊으면 아니됩니다.

근데, 누가 개발한건지도 모르겠고, 왜그런지도 모르겠지만... 마찰이 없기 때문에, 운동량 보존 법칙이 성립해야 하긴 해야 한댑니다.... 그래서, 전후의 운동량이 같다는 관계를,

이렇게 쓰면, 아주 믿음직스럽죠.. 이리해서 우리는 v_2 ` 에 관한 일차 방정식을 얻고, 이걸 풀면 v_2` = 18 m/s 를 얻습니다. 여기서 부호는 + 에 해당하니까 '오른쪽' 으로 움직이는게 될터이니, 결국 충돌 후 1kg 짜리 물체 B는 충돌 후 오른쪽 방향으로 18m/s 의 속도로 움직이게 됩니다. 그런데, 우리는 이 상황을 매우 타당하다고 볼 수 있을까요...? 물리 문제를 이렇게, 공식에 대입해서 푸는 과정으로만 끝나면 공부할 수 있는 너무 많은 것을 잃어버립니다. 연애사로 따지면, 커플이어서 할 게 많은데, 게임만 하고, 똑같은 것만 하다가 지루해지는 꼴이라고 할 수도 있습니다(?) 우리는, 운동량 보존 법칙을 유도하는 과정을 통해 전체적인 개념에 대한 실루엣을 잡아야 합니다. 이제, 다음 소주제로 넘어가 보겠습니다. 

▲ 이러한 운동 양상이 실제로 일어날 수 있는 타당한 현상이라고 인정할 수 있을까?

 앞의 포스팅의 제목을 잠깐 주의깊게 보시면 알겠지만, 운동량 보존 법칙의 관계를 '작용-반작용 법칙의 또다른 언어' 라고 썼습니다. 예, 실제로, 이 운동량 보존 법칙은

작용-반작용의 법칙 에 의해 유도가 되기 때문에 그렇습니다. 작용-반작용 법칙을 잠깐 소개했던 부분이 있었는데, 그것이 바로[3]번째 이야기(운동량과 충격량[3] : 충격량.충격력.운동량 과의 관계) 에서 살짝 소개했었습니다.

 사실, 충격을 받는다는 것은 힘에 의한 상호 작용이 성립합니다. 달걀도 유리를 때리고, 유리도 달걀을 내칩니다. 이런 메커니즘으로부터 보존 법칙은 유도가 됩니다. 자, 이제 운동량 보존 법칙이 바로 '작용-반작용의 또다른 표현' 이란 사실을 잘 주지하면서, 실제 공식을 유도해 보는 과정을 시도해 볼겁니다.

이번에는 A물체의 질량을 m₁이라고 하고, B물체의 질량을 m₂라 하고, 그들이 각각 아래 그림처럼 v₁, v₂의 속도로 이동하다가 충돌하는 상황을 봅시다.

 여기서 충돌을 주는 주는 상황을 봅시다. 여기서 중요한 부분은 충돌을 하는 저 순간입니다!  충돌을 하게 되면, 충격력이라는 걸 추게 되죠. 그것은, 물체를 부술수도 있고 , 박살 낼 수도 있습니다. 그러나, 여기선 물체가 튼튼해서 그런 일은 발생하지 않는다고 칩시다. (그리고, 여전히 수평면 사이에 작용하는 마찰력도 없다고 가정합시다.)

먼저, A물체가 B에 부딪치는 관점에서 보면 B 물체에게 힘을 주는 건 당연한 겁니다. 뭐, 이건 지나가는 초등학생에게 물어도 이해를 할 수 있죠..ㅎㅎ 

근데, 한 차원 더 높은 생각을 하려면, 이걸로 끝내면 안된단 겁니다. 바로 작용-반작용의 법칙... 힘의 상호 작용을 생각해야 하죠. 이런 메커니즘이 성립함을 알 수 있습니다.

여기서, 더 고차원적인 아이디어는, A도 B도 서로 부딪쳤다는 점을 좀 더 잘 생각해봅시다. 서로 부딪쳤다면, 부딪친 시간이 있을겁니다.(요것이 결정적인 힌트)

바로, 접촉 시간은 서로 동일하다는 관점입니다. 예를 들어, 서로 충돌한 상황인데 A가 1초동안 B랑 붙어있었고, B는 0.2초 붙어있었다.. 말이 되질 않습니다. 이 부분을 수긍하면 됩니다. 접촉한 시간은 같고, 접촉한 뒤 떨어지는 시간도 당연히 같습니다.

작용한 힘만 반대일 뿐, 그 힘의 크기는 같고, 접촉 시간은 서로 동일하기 때문에, 그 충격량의 순수한 크기만 비교해 본다면 같을겁니다! (매우 중요한 아이디어) 

그런데, 충격량은 또다시 운동량의 변화량이다라고 하는 매우 아름다운 관계가 있지 않았습니까?

여기서, 중요한 건 △v 에 대응되는 나중속도와 처음속도의 차이를 구해야 하는데.... 이것은 충돌 전과 후의 속도를 통해 분석이 가능합니다. 마찰이 없었기 때문에, 물론 각각각의 물체는 등속으로 움직였겠죠... (제시되어져 있는 속도 그대로...)

그럼, 이런 도식을 그려볼 수가 있습니다. 주목해야 할 점은 다시, 작용 반작용의 법칙으로서, 물체 A가 B로부터 F의 힘을 받았다면, B는 A로부터 크기가 같고 방향이 반대인 힘 -F를 받았다는 점입니다. 그래서 힘의 부호가 다른겁니다.

그런데, 우리는 여기서... 물체 A에 관한 것과 B에 관한 충격량이 크기가 같다는 점, (단지 부호만 다르단 점을 착안한다면)

지금 제시된 (2)식을 기준으로, 단지 -1 을 곱해주면,

이 됨을 알 수 있습니다. 그렇게 -1 을 곱해준 상태는 -(-I) = I 즉, (1)식과 같으므로,

이렇게 쓸 수 있겠죠.. ! 후아아!! 다 끝낱습니다. 이제, 처음 운동량에 대응하는, 즉 프라임(`) 이 없는 것을 좌변으로 몰고, 나중 운동량에 대응되는 프라임(`) 이 있는 걸

우변으로 몰아봅시다.

그러면,

짜자잔!! 드뎌 우리가 원하는 운동량 보존 법칙을 얻었습니다.

<운동량 보존 법칙>

마찰이 없는 수평면에서 아래와 같이 질량 m₁, m₂ 인 물체가 v₁, v₂의 속도를 가지고 충돌하고,

충돌 이후의 속도를 v₁` , v₂` 라고 하면, 아래와 같은 법칙이 성립하고, 이와 같은 법칙을 '운동량 보존 법칙' 이라고 한다.

자, 이제 왜 운동량 보존 법칙을 작용-반작용의 또다른 표현이라고 했는지 아시겠죠?

(이렇게 유도 과정속에 녹아 있는 개념들로 얻어진 겁니다.)

이런 관점이라면, 당연히 제가 맨 처음에 문제를 풀고 나서 이야기한, 이 상황의 타당성도 검증이 됩니다. 물체 B가 18m/s 란 사실이 타당하냐는 의문이었죠?

4kg 짜리 물체 A가 4m/s 의 속력으로 오른쪽 방향으로 달려오고 있었고, 1kg 짜리 물체 B가 2m/s 속도로 왼쪽 방향으로 달려 오고 있었다고 칩시다. 그럼 위의 중간 그림처럼, 물체 A와 B는 어느 순간에 '어랏 쾅!'하고 충돌하겠죠.. 그러면, 충격력에 의해 (힘을 받으니까) 물체는 운동 양태를 바꿀것이 분명합니다. 이 때 A란 물체가 1m/s 의 속도로, 아까 운동했던 방향과 반대 방향으로 간다고 합시다. 그렇다면 물체 B의 속도는 어떻게 될까요? (단, 수평면의 마찰은 없다고 가정합시다.)

(정답은18m/s라고 앞에서 운동량 보존 법칙을 사용해 얻었음)

▲ 이러한 운동 양상이 실제로 일어날 수 있는 타당한 현상이라고 인정할 수 있을까?

그 이유는 작용-반작용 법칙에서 다시 찾아 볼 수 있다는 것을 알 수 있습니다. 작용-반작용 법칙에 의해 충돌 중에는 분명히 똑같은 힘과 똑같은 시간동안 접촉해 있었다는 점을 알 수 있습니다. 그런데 질량 차이가 나죠.

 똑같은 힘(F) 을 받을 경우, 운동 2법칙 F=ma ⇔ a = F/m 을 생각할 때 결국 속도의 변화량인 가속도는 질량에 반비례함을 알 수 있습니다. ( a ∝ 1/m ) , 결국 질량이 작은 1kg 물체는 -2m/s 에서 18m/s 로 변화하였고, 질량이 큰 4kg 물체는 4m/s 에서 -1m/s 로 변화하였습니다. 당연히 질량이 작은 물체가 가속이 크다는 걸 알 수 있고, 하나 더 속도의 변화 비율을 따져보면, 물체 A는 -1 - 4 = -5 m/s 변화하였고, B는 18-(-2)= 20m/s 변화하였습니다. 그런데 시간마다 동일한 속도를 유지하는 등속운동이 되므로, 각각들을 똑같은 시간으로 나눈것은 충돌 전후의 가속도가 된다고 볼 수 있고, 그 가속도의 크기의 비는 A : B = 1 : 4 가 됩니다. 즉, 가속도의 비는 질량 크기의 역수가 된다는 사실을 분석할 수도 있습니다. 따라서, 이와 같은 상황은 뉴턴의 운동 2법칙도 잘 반족하므로, 타당한 현상이라는 것도 얻게 됩니다.

자아아! 이렇게, 운동량 보존 법칙을 단지 공식에 착착 대입하는게 아닌, 여러 관점에서 분석해 봄으로서, 물리적인 감각을 증진(?)시키려고 노력했는데요. 여러분들도, 스스로 하나의 개념, 혹은 하나의 문제를 풀더라도.... 여러 가지 방면으로 생각해보고, 분석해 보는 능력을 가졌으면 좋겠습니다.^^ 오늘 포스팅은 여기까지구요. 다음에 또 재미있는(다른 사람들은 재미없다고 하지만..) 내용으로 찾아뵙도록 하겠습니다. 긴 글 읽어주셔서 감사합니다.