회전체 겉넓이 공식 - hoejeonche geotneolb-i gongsig

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회전체의 겉넓이 구하기 공식 - 수지 수리논술학원 진산서당

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 용인수지 수학학원

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아래 애니메이션은 양함수 y =  f(x) 를 x 축을 회전축으로 하여 한 바퀴 회전시킬 때 생기는 회전체의 겉넓이를 구분구적과 정적분으로 구하는 과정을 보여 주고 있습니다. 

정적분 구간 [a, b]에 속하는 임의의 점 x 에서 회전체의 옆넓이의 증분 △S 는 위 그림에서 표시한 바와 같으므로,

아래와 같이 옆넓이 함수의 도함수를 얻을 수 있습니다.

구간 [a, x] (a ≤ x ≤ b)에서 회전체의 옆넓이가 S(x) 이고, 미적분학의 제1 기본정리에 의하여

이므로,

정적분 구간 [a, b] 에서 양함수 y =  f(x) 를 x 축을 회전축으로 하여 회전시킬 때 생기는 회전체의 옆넓이 Sx 는 S(b) 가 됩니다. 따라서

게시글 구분구적 및 회전체의 겉넓이 공식을 이용한 구의 겉넓이 공식의 증명에서는 이와는 조금 다른 증명법을 소개하고 있는데 함께 참조해 주십시오. 또한 이 공식으로 구의 겉넓이를 구하는 과정을 보여 주고 있습니다.

그리고,,,

위 애니메이션에 표시된 임의의 점 x 에서 회전체의 옆넓이의 증분 △S 는 아래 원뿔대의 옆넓이 공식을 이용한 것인데요,,,

여기서 r1, r2 는 각각 원뿔대의 두 밑면의 반지름의 길이이고, l 은 이 원뿔대의 모선의 길이입니다.

아래 애니메이션에서 이 공식을 증명하고 있는데요,,, 보라색 부분은 이 원뿔대의 옆면의 전개도입니다.

π (r1 + r2 ) 가 보라색 옆면의 중앙을 지나는 단면원의 둘레임을 생각하면 이 공식은 마치 직사각형의 넓이를 구하듯이 가로 곱하기 세로를 하고 있습니다.

이 원뿔대의 옆면의 넓이 공식과 우리가 얻은 회전체의 옆넓이 공식을 비교해 보는 것도 재미있는데요...

2πf(x) 가 정적분 구간 [a, b] 에 속하는 x 에서 회전체의 단면원의 둘레이고, √...dx 부분이 그때의 모선의 길이에 해당된다고 보시면 됩니다.

이상,,,

회전체 전체의 겉넓이는 아래와 같이 되겠습니다.

연습문제

곡선 y = x^2 (0 ≤ x ≤ 2) 를 y 축을 회전축으로 하여 회전시킬 때 생기는 회전체의 옆면의 넓이를 구하여라.

곡선 y = √x (0 ≤ x ≤ 4) 를 x 축을 회전축으로 하여 회전시킬 때 생기는 회전체의 옆면의 넓이와 같으므로,

그런데,

곡선 y = x^2 (0 ≤ x ≤ 2) 를 y 축을 회전축으로 하여 회전시킬 때, x 의 정적분 [0, 2]에 속하는 x 에서 회전체의 단면원의 둘레는 2πx 이고 이때의 모선의 길이는 x 축을 회전축으로 하여 회전시킬 때와 똑같은 √...dx 가 되므로

와 같이 됩니다.

치환적분하여 옆면의 넓이를 구해 보면 아래와 같이 똑 같다능...

	TIP	덧붙이는 글
적분변수 x 에서, x 축을 회전축으로 할 때와 y 축을 회전축으로 할 때 모선의 길이가 똑같다고 전제하여 위와 같이 해결하였는데요,,, 곡선 위의 점 (x, y) 를 매개변수 방정식으로 나타내어서 이를 확인해 보도록 하겠습니다. 일대일 함수 y = f(t), x = g(t) 가 미분가능하고, f '(t), g'(t) 가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고, f(t) ≥ 0, g(t) ≥ 0 일 때, 매개변수로 나타내어진 곡선 x = g(t), y = f(t) , a ≤ t ≤ b 를 x 축을 회전축으로 하여 회전시킬 때 생기는 회전체의 옆면의 넓이 Sx 는 아래와 같이 구할 수 있습니다. 같은 방법으로 y 축을 회전축으로 하여 회전시킬 때 생기는 회전체의 옆면의 넓이 Sy 는 아래와 같이 됩니다. 여기서 x = g(t) = t 로 두면, 양함수 y =  f(x) 를 x 축을 회전축으로 하여 회전시킬 때 생기는 회전체의 옆면의 넓이는 아래와 같이 본문에서와 똑같은 식이 되구요... 양함수 y =  f(x) 를 y 축을 회전축으로 하여 회전시킬 때 생기는 회전체의 옆면의 넓이는 아래와 같이 됩니다. 위 보라색 부분이 정적분 구간 [a, b]에 속하는 t 에서 미소량의 모선의 길이로서 이 둘은 항상 같습니다. 이상에서, x 의 정적분 구간 [a, b] 에서 양함수 y =  f(x) 를 y 축을 회전축으로 하여 회전시킬 때 생기는 회전체의 옆넓이 Sy 는 아래와 같이 됩니다.

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