함수 평행이동 대칭이동 순서 - hamsu pyeonghaeng-idong daeching-idong sunseo

4.3 평행이동과 대칭이동(Translation & Reflection)
작성자 : 네냐플(Nenyaffle)

4.3절에서는 점과 그래프의 이동을 소개하려고 합니다. 미분적분학에서 필요한 이동은
축과 평행을 유지하면서 이동
축과 평행을 유지하면서 이동
직선  에 대한 대칭이동
직선  에 대한 대칭이동
점  에 대한 대칭이동
직선  에 대한 대칭이동
위 6가지 뿐입니다. 대학 입학 전에는 일반적인 직선  에 대한 대칭이동도
배웠을테고 회전이동을 배웠을수도 있는데 미분적분학을 공부할땐 그런건 몰라도 됩니다.
위에서 이야기한 6가지만 알면 충분합니다.

먼저 첫 번째와 두 번째 이동을 소개하겠습니다. 이런 이동을 평행이동이라고 부릅니다.

좌표평면 위에 점  가 하나 주어져 있습니다. 그리고  일 때 점  를
축과 평행하게 오른쪽으로 만큼 이동시키면 축과 평행하게 움직이므로 점  의
좌표는  가 되고 좌표는 변하지 않습니다. 즉, 이동시키면  가 됩니다.
마찬가지로 축과 평행하게 왼쪽으로 만큼 이동시키면  가 됩니다.

이것을 한꺼번에 표현할땐 실수 에 대하여 축의 양의 방향으로 만큼 평행이동 했다고
말합니다. 즉, 의 부호에 관계없이 축의 양의 방향으로 만큼 평행이동하면 는
가 된다고 이야기합니다. 그림으로 나타내면 다음과 같습니다.

축의 양의 방향은 축의 오른쪽 방향입니다. 예를 들어 축의 양의 방향으로 만큼
평행이동 했다는 것은 만큼 오른쪽으로 이동했다는 뜻이고 축의 양의 방향으로 만큼
평행이동 했다는 것은 만큼 왼쪽으로 이동했다는 뜻입니다.

축과 평행을 유지하면서 이동하는 평행이동에서도 비슷한 결과가 나옵니다. 실수 에
대하여 축의 양의 방향으로 만큼 평행이동 했다고 이야기하고 그림으로 나타내면 다음과
같습니다.

Theorem 4.3.1 평행이동 점
좌표평면 위의 점 를 축의 양의 방향으로 만큼 평행이동한 점은
이고 축의 양의 방향으로 만큼 평행이동한 점은  이다.
만약  또는  이면 점은 그 자리에 그대로 있습니다. 정리하면 다음과 같습니다.

점의 평행이동은 사실  의 그래프를 평행이동하는 방법을 소개하기 위해서
소개한겁니다. 점의 평행이동보다 그래프의 평행이동이 더 중요합니다.

 의 그래프를 축의 양의 방향으로 만큼 평행이동한 것을
이라고 하고 축의 양의 방향으로 만큼 평행이동한 것을  이라고 하겠습니다.

그러면  위의 점 에 대하여 은  을 만족하는
점이고 는  을 만족하는 점입니다. 예를 들어서 그림으로 나타내면
다음과 같습니다.

이제 평행이동한 그래프의 관계식을 구해보겠습니다.

먼저  위의 임의의 점  을 하나 택합니다. 그러면  은
 의 그래프를 축의 양의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프이므로
 을 축의 양의 방향으로 만큼 평행이동한 점  는
위의 점입니다.

따라서  이고 조건에 의하면  입니다. 그리고  는
 위의 임의의 점이므로 결국  의 그래프는  의
그래프와 일치합니다. 그러므로  의 그래프를 축의 양의 방향으로 만큼
평행이동한 그래프는  의 그래프입니다.

마찬가지로  위의 임의의 점  을 하나 택하면  는
 위의 점이므로  이고 조건에 의하면
입니다.  는  위의 임의의 점 이므로  의 그래프는
 의 그래프와 일치합니다.

따라서  의 그래프를 축의 양의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프는
 의 그래프입니다. 정리하면 다음과 같습니다.

Theorem 4.3.2 평행이동 그래프
 의 그래프를 축의 양의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프는
 이고 축의 양의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프는
 이다.

이것은 축의 양의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프는  대신  를 대입하면
나오고 축의 양의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프는  대신  를 대입하면
나온다고 기억하면 됩니다.

저는 이렇게 기억했습니다. 직선  가 주어져있을 때 이 직선을 축의 양의 방향으로
만큼 평행이동 했다고 하겠습니다. 그리고 직선  위의 점 은 축의 양의
방향으로 만큼 평행이동했을 때 이 됩니다.

따라서 평행이동한 직선은 점  을 지나야하고 직선  은 점  을
지나므로  대신  을 대입한 결과가 축의 양의 방향으로 만큼 평행이동한게
됩니다.

축의 양의 방향으로 평행이동한 것도 똑같이 점 이 점 가 되고 평행이동하면
점 를 지나야하니까  즉,  이 되어야 한다고 기억했습니다.

사실  은  그래프를 축의 양의 방향으로 만큼 평행이동한
그래프이기도 합니다.

함수 에 대하여 의 그래프를 축의 양의 방향으로 만큼 평행이동하면
 가 되고 축의 양의 방향으로 만큼 평행이동하면
즉,  가 됩니다.

 이것을 정의하려면  가 의 정의역의 원소라는 것이 보장되어야
하는데 이 이야기를 다 쓰면 너무 지저분해지고 의미도 없기 때문에 그래프의 이동을
이야기할땐 이런건 다 보장된다고 간주하고 넘어가는 편입니다.

이제 대칭이동을 소개할건데 대칭이동을 소개하기 전에 대칭에 대해 이야기하겠습니다.

대칭에는 대표적으로 선대칭과 점대칭이 있는데 선대칭은 문자 그대로 두 도형이 어떤 선 을
기준으로 대칭이라는 뜻입니다. 이때 은 선분일수도 있고 반직선, 아니면 직선일수도 있는데 이 책에서는 직선으로 간주하겠습니다. 선대칭은 쉽게 이야기하면 직선 을 접는 선으로
간주하고 접으면 데칼코마니처럼 한쪽에 있는 도형이 다른쪽에 있는 도형과 겹치는 것입니다.

두 도형이 점대칭이라는 것은 어떤 점  를 기준으로 한쪽에 있는 도형을 반시계 방향으로
 회전시키면 다른쪽에 있는 도형과 겹치는 것을 말합니다. 선대칭과 점대칭을
그림으로 나타내면 다음과 같습니다. 왼쪽은 선대칭이고 오른쪽은 점대칭입니다.
이제 대칭이동을 설명하겠습니다. 어떤 점  를 직선 또는 점에 대해 대칭이동한 점이
라는 것은 선분 PQ가 선대칭 또는 점대칭이라는 뜻입니다. 즉, 점  가 주어져있을 때
점  를 선분 PQ가 선대칭 또는 점대칭이 되도록 하는 점  로 이동시키는 것입니다.

좌표평면 위에 직선  와 직선  위에 있지 않은 점  가
주어져있다고 하겠습니다. 이때 선분 PQ가 직선  에 대해 대칭이면 선분 PQ는
직선  와 수직이고 선분 PQ의 중점은 직선  위에 있어야 합니다.

그러면 선분 PQ는 직선  와 수직입니다. 따라서  의 좌표는 같아야 하고
그러므로  입니다. 그리고 선분 PQ의 중점  이 직선  위에
있어야 하므로  입니다. 즉,  입니다.

따라서 점  는  입니다. 만약 점  가 직선  위에
있으면 점  를 직선  에 대해 대칭이동시킨 점은  입니다. 즉, 점이 변하지
않습니다. 그리고  이면  이므로 이 경우에도 점  를 직선
에 대해 대칭이동시킨 점을  라고 할수 있습니다.

그러므로 점  를 직선  에 대하여 대칭이동시킨 점은
입니다. 이 사실은  인 상황에서 자주 사용하는데  이면 직선  는 축과
일치하고 따라서 점  를 축에 대해 대칭이동시킨 점은  가 됩니다.

좌표의 부호만 바꾸면 축에 대해 대칭이동시킨 점이 된다고 기억하면 편합니다.
직선  에 대한 대칭이동도 원리는 똑같습니다. 점  를 직선  에 대해
대칭이동시킨 점은  라는 것을 같은 방법으로 유도할수 있습니다.

 이면 직선  는 축과 일치하고 점  를 축에 대해 대칭이동시킨
점은  입니다. 좌표의 부호만 바꾸면 축에 대해 대칭이동시킨 점이 된다고
기억하면 편합니다.

이제 점 에 대한 대칭이동을 소개하겠습니다. 좌표평면 위에 와 다른 점
 가 주어져있을 때 선분 PQ가 점 에 대해 점대칭이면
점 는 선분 PQ의 중점입니다.

상상해보면 쉽게 알수 있는데 점  를 를 기준으로 반시계 방향으로 회전시킨
점이  이면 는 선분 PQ의 중점입니다. 역으로 선분 PQ의 중점이 이면 점
 는 점  를 를 기준으로 반시계 방향으로  회전시킨 점이 됩니다.

이해가 잘 안된다면 이렇게 생각해보면 쉽습니다. 지면 위  지점에 말뚝이 박혀있고
그 말뚝에 밧줄을 묶어서 밧줄이 팽팽해질 때까지 당깁니다. 그 상태에서 반시계 방향으로
 돌면 밧줄의 끝점  는  의 위치에 도달합니다.

그러면 는 말뚝이고  와  는 동일한 밧줄의 끝점이기 때문에 가 선분
PQ의 가운데에 있다는 것을 쉽게 알수 있습니다. 따라서 중점이 됩니다.

따라서  이므로  입니다.
그러므로 점  는  입니다.

만약 점  가 와 같다면 이때는 점  를 에 대해 대칭이동한 점은 가
됩니다. 즉, 점이 변하지 않습니다. 그리고  이면  이고
 이므로 이 경우에도 점  를 에 대해 대칭이동시킨 점을
 라고 할수 있습니다.

이 사실도 가 원점 즉,  인 상황에서 자주 사용하는데 점  를
원점에 대해 대칭이동시킨 점은  입니다. 좌표의 부호를 모두 바꾸면
원점에 대해 대칭이동시킨 점이 된다고 기억하면 편합니다.

마지막으로 직선  에 대한 대칭이동을 소개하겠습니다. 이것도 선대칭이므로 직선
 또는  에 대한 대칭이동과 원리가 같습니다.
좌표평면 위에 직선  와 직선  위에 있지 않은 점  가
주어져있다고 하겠습니다. 이때 선분 PQ가 직선  에 대해 대칭이면 선분 PQ는
직선  와 수직이고 선분 PQ의 중점은 직선  위에 있어야 합니다.

선분 PQ가 직선  와 수직이므로 두 점  를 지나는 직선의 기울기는
입니다. 따라서  에서  을 얻습니다.

그리고 선분 PQ의 중점이 직선  위에 있으므로  를
만족합니다. 따라서  을 얻습니다. 즉, 다음과 같은  에 대한
연립방정식을 얻을수 있습니다.

이것을 풀면  을 얻습니다. 따라서 점  는  입니다.
즉, 점  의 좌표와 좌표의 위치를 바꾸면 직선  에 대해 대칭이동시킨 점이
됩니다.

Theorem 4.3.3 대칭이동 점
좌표평면 위의 점  가 주어져있다고 하고 다음 조건에 맞게 대칭이동시킨 점을
 라고 하자.

(a). 점  를 직선  에 대해 대칭이동시킨 점은  이다.
특히  이면 점  를 축에 대해 대칭이동 시킨다고 하고 축에 대해 대칭이동시킨
점은  이다.

(b). 점  를 직선  에 대해 대칭이동시킨 점은  이다.
특히  이면 점  를 축에 대해 대칭이동 시킨다고 하고 축에 대해 대칭이동시킨
점은  이다.

(c). 점  를 점 에 대해 대칭이동시킨 점은  이다.
특히  이면 점  를 원점에 대해 대칭이동 시킨다고 하고 원점에 대해
대칭이동시킨 점은  이다.

(d). 점  를 직선  에 대해 대칭이동시킨 점은  이다.
지금까지 이야기한 점의 대칭이동을 정리하면 다음과 같습니다.

점의 대칭이동도  의 그래프를 대칭이동시키는 방법을 소개하기 위해서
소개한겁니다. 대칭이동에서도 점의 대칭이동보다 그래프의 대칭이동이 더 중요합니다.

원리는 그래프의 평행이동과 같습니다. 하나만 해보면  의 그래프를 직선
 에 대하여 대칭이동한 그래프를  라고 하고  위의 임의의
점  을 하나 택하겠습니다. 그러면  입니다.

그러면  의 그래프는  의 그래프를 직선  에 대하여
대칭이동시킨 그래프이므로 점  을 직선  에 대해 대칭이동시킨 점
 은  을 만족하는 점이고 따라서  을
만족합니다.

 은  위의 임의의 점 이므로 결국  의 그래프는
 의 그래프와 일치합니다. 즉,  이 관계식에  대신
를 대입하면 직선  에 대하여 대칭이동시킨 그래프가 나옵니다.  즉, 축에
대해 대칭이동시킨 그래프는  의 그래프입니다.

Theorem 4.3.4 대칭이동 그래프
좌표평면 위에  의 그래프가 주어져있다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

(a).  의 그래프를 직선  에 대하여 대칭이동시킨 그래프는
 의 그래프이다. 특히  이면  의 그래프를 축에
대해 대칭이동 시켰다고 하고 축에 대해 대칭이동시킨 그래프는  의
그래프이다.

(b).  의 그래프를 직선  에 대하여 대칭이동시킨 그래프는
 의 그래프이다. 특히  이면  의 그래프를 축에
대해 대칭이동 시켰다고 하고 축에 대해 대칭이동시킨 그래프는  의
그래프이다.

(c).  의 그래프를 점 에 대하여 대칭이동시킨 그래프는
 의 그래프이다. 특히  이면  의 그래프를
원점에 대해 대칭이동 시켰다고 하고 원점에 대해 대칭이동시킨 그래프는
 의 그래프이다.

(d).  의 그래프를 직선  에 대하여 대칭이동시킨 그래프는
 의 그래프이다.

같은 방법으로 나머지 대칭이동도 관계식을 유도할수 있는데 정리하면 다음과 같습니다.

예를 들어 직선  을 직선 , 축, 점 , 직선  에 대해
대칭이동시킨 직선의 방정식과 그래프는 다음과 같습니다.

한편 직선  에 대해 대칭이동시킬 때 주의할 점이 있습니다. 예를 들어
의 그래프가 주어져있을 때  의 그래프를 다음 순서대로 이동시킨다고 하면

1) 축의 양의 방향으로 만큼 평행이동시킨다.
2) 축의 양의 방향으로 만큼 평행이동시킨다.
3) 직선  에 대해 대칭이동시킨다.

1)에서는  이고 그 다음인 2)에서는  입니다.
여기까지는 잘 하는데 3)을 시행할 때  으로 쓰는 사례가 있습니다. 

점의 대칭이동에서 직선  에 대해 대칭이동 시키는건 좌표와 좌표의 위치를
바꾸는걸로 기억하는 편이라  에서 좌표의 위치를 바꾸는걸로 생각하고
 과  의 위치를 바꿔서  이라고 쓰는 사례가 있는데
이렇게 쓰면 틀립니다.

 라고 했을 때  의 그래프를 직선  에 대해
대칭이동시킨 그래프는  이고 이때  입니다.
따라서 3)을 시행한 결과는  이라고 쓰는게 맞습니다.

잘 읽어보면 제가 그래프의 대칭이동에서 직선  에 대해 대칭이동하는걸 소개할 때
점의 대칭이동과 다르게 좌표와 좌표의 위치를 바꾸라는 이야기를 하지 않았습니다.
Problem 4.3.1  의 그래프가 다음과 같을 때 (a),(b),(c)에 주어진 관계식이
나타내는 그래프를 그리시오.

(a).
(b).
(c).

(풀이)
(a),(b),(c)에 있는 관계식은 다음 과정을 통해 얻어진 것이다.

(a). 1) 원점에 대한 대칭이동 :
2) 축의 양의 방향으로 만큼 평행이동 :

■
(b). 1) 직선  에 대한 대칭이동 :
2) 축의 양의 방향으로 만큼 평행이동 :
3) 축에 대한 대칭이동 :

■

(c). 1) 직선  에 대한 대칭이동 :
2) 원점에 대한 대칭이동 :

■
함수 에 대하여  의 그래프의 대칭이동은 다음과 같이 표현됩니다.

직선  에 대해 대칭이동한 그래프는
 이면 축에 대해 대칭이동한 그래프가 되고 관계식은

직선  에 대해 대칭이동한 그래프는  즉,
 이면 축에 대해 대칭이동한 그래프가 되고 관계식은

점 에 대해 대칭이동한 그래프는  즉,
 이면 원점에 대해 대칭이동한 그래프가 되고 관계식은

직선  에 대해 대칭이동한 그래프는

물론 이때도  나  가 의 정의역의 원소가 되어야한다는 조건이 필요한데
편의상 생략했습니다. 일일이 다 쓰면 너무 지저분해지고 중요한건 그래프의 이동이기
때문입니다. 

그리고 직선  에 대해 대칭이동한  의 그래프는 함수의 그래프가 아닐수도
있습니다. 가 상수함수이면 관계식이 상수 에 대하여  이므로 직선인데 이것을
직선  에 대해 대칭이동하면  이므로 함수의 그래프가 아닙니다.

마지막으로 그래프의 대칭성을 이야기하고 마치겠습니다.  의 그래프 자체가
선대칭 또는 점대칭이면  의 그래프를 선대칭이동 또는 점대칭이동을 시켜도
그래프는 그 자리에 그대로 있습니다.

 라고 할 때  의 그래프는 다음과 같습니다.

그래프의 모양을 보면 축, 축, 원점, 직선  에 대해 모두 대칭입니다. 그리고

가 성립한다는 것도 쉽게 알수 있습니다.
즉, 그래프가 선대칭 또는 점대칭이면 Theorem 4.3.4를 사용해서 얻은 관계식의 그래프는
원래 그래프와 일치합니다. 따라서 다음을 얻을수 있습니다.

Theorem 4.3.5 그래프의 대칭성
 의 그래프가 주어져있다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

(a).  의 그래프가 직선  에 대하여 대칭일 필요충분조건은
 과  의 그래프가 일치하는 것이다. 이때
이면  의 그래프는 축에 대해 대칭이라고 말하고 그래프가 축에 대해
대칭일 필요충분조건은  과  의 그래프가 일치하는 것이다.

(b).  의 그래프가 직선  에 대하여 대칭일 필요충분조건은
 과  의 그래프가 일치하는 것이다. 이때
이면  의 그래프는 축에 대해 대칭이라고 말하고 그래프가 축에 대해
대칭일 필요충분조건은  과  의 그래프가 일치하는 것이다.

(c).  의 그래프가 점 에 대하여 대칭일 필요충분조건은
 과  의 그래프가 일치하는 것이다. 이때
이면  의 그래프는 원점에 대해 대칭이라고 말하고 그래프가 원점에 대해
대칭일 필요충분조건은  과  의 그래프가 일치하는 것이다.

(d).  의 그래프가 직선  에 대하여 대칭일 필요충분조건은
 과  의 그래프가 일치하는 것이다.
 의 그래프가 주어져있을 때  라고 하면
 를 만족하므로  의 그래프는 축에 대해 대칭이
됩니다.

Theorem 4.3.5에서 그래프가 일치하다는 표현을 사용한 이유는 식 자체는 다를수 있기
때문입니다.  일 때  의 그래프와  의 그래프가
일치하고 이때  인데 식 자체는 와 다릅니다.

Theorem 4.3.5 (a),(b),(c)는 함수의 그래프에서 더 많이 사용합니다. 함수 가 주어져있을
때  라고 하고 Theorem 4.3.5를 사용하면 다음을
Corollary 4.3.1 함수의 그래프의 대칭성
함수 가 주어져있다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

(a).  의 그래프가 직선  에 대하여 대칭일 필요충분조건은
 가 성립하는 것이다.
(b).  의 그래프가 점 에 대하여 대칭일 필요충분조건은
 가 성립하는 것이다.
 쉽게 얻을수 있는데
이때  같은건 모두 잘 정의된다고 가정하겠습니다.

(증명)
 라고 하자. 그러면  이고
 이다.

(a). Theorem 4.3.5에 의하면 직선  에 대하여 대칭일 필요충분조건은  의
그래프와  의 그래프가 일치하는 것이다. 따라서  가
성립해야 하고  대신  를 대입하면  를 얻는다. ■

(b). Theorem 4.3.5에 의하면 점 에 대하여 대칭일 필요충분조건은  의
그래프와  의 그래프가 일치하는 것이다.

따라서  가 성립해야 하고  대신  를 대입해서 정리하면
 를 얻는다. ■

이것을 직관적으로 이해하려면 다음과 같이 생각하면 됩니다.

편의상  이라고 간주하면 는 에서 만큼 왼쪽으로 떨어진 지점에서의
함숫값이고 는 에서 만큼 오른쪽으로 떨어진 지점에서의 함숫값입니다. 따라서
 이면  의 그래프가 직선  에 대하여 대칭임을 쉽게
알수 있습니다.

함수의 그래프에서는 직선  에 대해 대칭이 되는 경우를 고려하지 않습니다.

 라고 하면  이고  의
그래프가 직선  에 대해 대칭이면  의 그래프와  의
그래프가 일치해야 합니다.

따라서  가 성립해야 하고 정리하면  이므로 직선  에
대하여 대칭인 함수의 그래프는 함숫값이 인 상수함수의 그래프가 유일합니다. 즉, 할수
있는 이야기가 더 이상 없기 때문에 고려하지 않습니다.

점대칭도 다음과 같이 이해하면 됩니다. 이때도 편의상  이라고 간주하겠습니다.

 는  입니다. 이것은 두 점
 을 이은 선분의 중점이 라는 것이고
그림으로 나타내면 다음과 같습니다.

점대칭이라고 해서 그래프가 점 를 항상 지나는 것은 아닙니다. 함수 가
를 만족하면 이 아닌 모든 실수 에 대하여  이므로 의
그래프는 원점에 대해 대칭인데 은 의 정의역의 원소가 아니므로 그래프가 원점을 지나지
않습니다.

이것은 선대칭에서도 마찬가지입니다.  의 그래프가 직선  에 대하여
대칭이면서 는 정의되지 않을수도 있습니다.

Definition 4.3.1 우함수(Even Function), 기함수(Odd Function)
공집합이 아닌 집합  가 다음을 만족한다고 하자.
 이면  이다.
그러면 다음과 같이 정의한다.

(a). 함수  가 모든  에 대하여  를 만족하면
를 우함수(Even Function)라고 정의한다.
(b). 함수  가 모든  에 대하여  를 만족하면
를 기함수(Odd Function)라고 정의한다.
그래프가 축 또는 원점에 대해 대칭인 함수를 다음과 같이 정의합니다.

‘ 이면 ’ 이 조건은  때문에 필요한 조건인데 우함수와 기함수는
대칭성을 이야기하는게 목적이라서 생략하는 편입니다. 앞으로 이 책에서도 우함수와
기함수를 다룰땐  또는  이 등식만 언급하겠습니다.

우함수의 대표적인 예시는  이고 기함수의 대표적인 예시는
입니다.

Problem 4.3.2 가 우함수이고 가 기함수일 때 다음 함수가 우함수인지 기함수인지
판정하시오. 이 문제에서 언급한 모든 함수는 잘 정의된다고 가정한다.

(a).
(b).
(c).
(d).  일 때
(e).
(f).

(풀이)
(a).  이면 는 우함수이고 는 기함수인데  라고 하면
 이므로 는 우함수도 아니고 기함수도 아니다.
따라서 일반적으로 우함수도 아니고 기함수도 아니다. ■

(b).  이면 는 우함수이고 는 기함수인데  라고 하면
 이므로 는 우함수도 아니고 기함수도 아니다.
따라서 일반적으로 우함수도 아니고 기함수도 아니다. ■

(c).  라고 하자. 그러면 조건에 의해 다음이 성립한다.

따라서 는 기함수이다. ■

(d).  라고 하자. 그러면 조건에 의해 다음이 성립한다.

따라서 는 기함수이다. ■

(e).  라고 하자. 그러면 조건에 의해 다음이 성립한다.

따라서 는 우함수이다. ■

(f).  라고 하자. 그러면 조건에 의해 다음이 성립한다.

따라서 는 우함수이다. ■

Problem 4.3.3  는  이면  를 만족하는 공집합이 아닌 집합이다.
함수  에 대하여  를 만족하는 우함수  과 기함수
 가 유일하게 존재함을 증명하시오.

(증명)
두 함수  를 다음과 같이 정의하자.

그러면 모든  에 대하여  이다. 따라서 은
우함수, 는 기함수이고  이므로  이다.

이제 유일함을 보이자. 우함수  과 기함수  가  를
만족한다고 하면  이므로
 즉,  를 만족한다.

 은 우함수이므로  은 우함수이고  는 기함수이므로  는
기함수임을 쉽게 증명할수 있다. 그리고  이므로 좌변과 우변은
기함수이면서 동시에 우함수이다.

기함수이면서 동시에 우함수인 함수는 함숫값이 인 상수함수가 유일하다. 가 그런
함수라면  이므로  을 만족하기 때문이다.

따라서  이므로
가 성립한다. 즉,  이므로 문제의 조건을 만족하는 우함수와 기함수는
유일하게 존재한다. ■

함수의 그래프를 직선  에 대해 대칭이동시킨 그래프는 역함수와 관계가 있습니다.

가 역함수가 존재하는 함수일 때  의 그래프를 그리려고 합니다.
그리고  이것은  와 동치임을 알고 있습니다.

즉,  의 그래프와  의 그래프는 일치하고 이것은  의
그래프를 직선  에 대해 대칭이동시킨 그래프입니다. 따라서 역함수의 그래프는 원래
함수의 그래프를 직선  에 대해 대칭이동시킨 그래프입니다.

예를 들어 역함수가 존재하는 함수  의 그래프가 다음 그림과 같다면
역함수의 그래프는 다음과 같이  의 그래프를 직선  에 대해 대칭이동시킨
그래프입니다.

그래서 역함수가 존재하는 함수의 함수식  가 주어져있을 때 역함수의 함수식을
구하는 과정도 다음과 같습니다. 먼저 의 위치를 바꿔서  로 만들고 위치를
바꾼 식을 에 대한 방정식으로 간주한 뒤 에 대한 방정식  을 풀면 됩니다.

예를 들어  이면 이것은 역함수가 존재하는 함수의 함수식이고 의 위치를
바꿔서  로 만듭니다. 마지막으로 이것을 에 대해 풀면  을
얻습니다.

따라서 함수식이  로 주어져있을 때 역함수의 함수식은  입니다.
이런식으로 역함수가 존재하는 함수의 함수식이 주어져있을 때 역함수의 함수식을 구하는
방법은 많이 사용하기 때문에 기억하는게 좋습니다.

지금까지 설명한걸 잘 이해했다면 쉽게 눈치챌수 있는데 전사함수 에 대하여  의
그래프가 직선  에 대해 대칭이면 의 역함수가 존재하고 그 역함수의 그래프가
 의 그래프와 일치하다는 것을 알수 있습니다.
따라서 이 경우  즉, 의 역함수는 자기 자신입니다. 이런 함수의 대표적인
예시는  입니다.  의 그래프는 직선이고 이것은 직선  에 대하여
대칭임을 쉽게 알수 있습니다. 그리고 역함수가 자기 자신입니다.

증명은 다음과 같이 할수 있습니다.

Problem 4.3.4 공집합이 아닌 두 집합  와 전사함수  가
주어져있다고 하자. 만약  의 그래프가 직선  에 대해 대칭이면 다음이
성립함을 증명하시오.

(a). 모든  에 대하여  이다.
(b).  이다.
(c). 는 역함수가 존재하고  이다.

(증명)
(a). 임의의  를 택하자. 그러면 는  의 그래프 위에 있는 점이고
조건에 의하면 그래프는 직선  에 대해 대칭이므로 도  의
그래프 위에 있는 점이다. 따라서  를 만족한다. ■

(b). 먼저 임의의  를 택하자. 그러면 (a)에 의해  이고
이므로  이다. 즉,  의 모든 원소는  의 원소이므로  이다.

이제 임의의  를 택하자. 그러면 는 전사함수이므로 적당한  가 존재해서
 를 만족하고 이때 는  의 그래프 위의 점이다. 따라서
도  의 그래프 위의 점이 되고 그러므로  이다.

즉,  의 모든 원소는  의 원소이다. 따라서  이고  도 성립하므로
 이다. ■

(c). (a),(b)에 의하면 모든  에 대하여  이고 모든  에
대하여  임을 쉽게 알수 있다. 따라서 Problem 1.2.4에 의하면 의 역함수는
존재하고  이다. ■

4.3절에서 함수를 이야기할 때 정의역과 공역 표현을 제대로 하지 않고 넘어간 부분이 많은데
이것은 4.3절에서 소개하는 내용이 그래프 위주의 내용이라서 생략한겁니다. 4장은 일반적인
그래프를 보여주는게 목적이라서 그래프를 잘 이해하면 됩니다.