베르누이 방정식은 1783년 다니엘 베르누이의 주요 저서 "Hydrodynamics"에서 흐르는 유체의 속도와 압력, 높이의 관계를 수식적으로 나타낸 식입니다. 1783년에 발표된 이론이라는 것만 보아도 유체역학의 역사를 확인해 볼 수 있는 대목이기도 합니다. 베르누이 방정식은 유체역학에서 가장 중요한 방정식으로 꼽히며, 기계공학 전공 출신이라면 면접에서도 자주 등장하는 단골 질문 중에 하나입니다. 베르누이 방정식을 적용하기 위해서는 다음과 같은 가정이 있어야 합니다.
베르누이 방정식은 흐르는 유체에 대해 유선 (straam) 상에서 모든 형태의 에너지 합은 일정하다는 것입니다. 그림 1을 보면 1번 구간과 2번 구간이 존재합니다. 1번 구간에서 2번 구간으로 이동할 때 에너지가 변할 수 있는 것들을 살펴보겠습니다. 1. 힘이 하는 일 2. 운동에너지 3. 위치에너지
 그림. 1 베르누이 방정식 3가지를 수식으로 정리해보겠습니다. 힘과 거리의 곱은 일입니다. 그리고 운동에너지와 위치에너지를 합하면 식 1과 같이 표현할 수 있습니다.
식. 1 이제 식 1을 부피로 나누도록 하겠습니다. (부피/거리)는 면적이 됩니다. 그리고 (질량/부피)는 밀도가 되어 식 2와 같이 정리할 수 있습니다.
식. 2 (힘/면적)은 압력이므로 최종적으로 식 3과 같이 정리할 수 있습니다.
식. 3
식. 4
그림. 2 좁은 관에서의 베르누이 효과 그림 2는 1번 지점에서 2번 지점으로 갈수록 좁아지는 파이프입니다. 유체 연속 방정식에 의해 파이프가 좁을수록 유체의 속도가 더 빨라집니다. 그리고 1번 지점과 2번 지점의 높이가 같기 때문에 베르누이 방정식에서 위치 에너지 항은 무시할 수 있습니다.
연속 방정식에 의해 v1 < v2 입니다. 그리고 베르누이 방정식에 의해 P1 > P2가 되는 것을 알 수 있습니다. 즉, 유체의 속도가 빠를수록 압력이 낮아지는 것입니다. 비행기가 양력에 의해서 뜨는 원리 역시 베르누이 방정식으로 설명이 가능합니다.
비행기의 날개를 옆에서 바라보면 아래 그림과 같이 위쪽이 더 볼록하게 생겼습니다. 연속 방정식과 마찬가지로 볼록한 부분이 마치 좁은 관을 통과하는 것과 같은 효과를 보여 볼록한 부분의 공기는 빠르게 흐르고 날개의 아랫면은 공기가 상대적으로 천천히 흐릅니다. 베르누이 방정식에 의해 공기의 흐름이 빠른 곳은 압력이 낮아지고 공기의 흐름이 느린 곳은 압력이 높아집니다. 이렇게 압력 차이가 발생하여 비행기가 이륙할 수 있습니다.
아래 그림은 공기주머니를 눌러서 액체를 분사하는 분무기입니다. 공기주머니를 누르면 관으로 공기가 빠르게 지나가면서 베르누이 원리에 의해 압력이 낮아지게 됩니다. 압력이 낮아지면 액체가 용기에서 올라와 분사 됩니다.
21. 베르누이 방정식2 (+양력) 저번 시간에 배웠던 베르누이 방정식을 응용하여 살펴보도록 합시다. 사실 응용이라 하기에는 좀 간단한 내용이라... 복잡한 내용은 없으니 편하게 보세요 동일한 높이에서 흐르는 유체라면? 만약 같은 높이에서 흐르는 유체에 베르누이 원리를 적용하면 어떻게 될까요?
베르누이 방정식 먼저 저번 시간에 배웠던 베르누이 방정식을 살펴봅시다. 높이가 동일하다면 어느 지점에서나 h(높이) 값이 일정하겠죠? 즉, ρgh 값 또한 어느 지점에서나 동일하게 됩니다. 과감하게 삭제합시다.
그러면 이런 꼴이 나올 것입니다. 이상유체이기 때문에 밀도는 어디에서나 동일하겠죠? 즉, 변수는 압력 P와 유속 v밖에 없습니다. 서로 반비례 관계를 갖게 되는 것이지요. 이를 P + Q = const 로도 표기합니다. 여기서 P = 정압, Q = 동압 입니다. Q는 1/2ρv^2이겠죠? 정확하게 익히려면 위에처럼 P + Q = const 또는 P+1/2ρv^2 = const 로 외우시는 게 낫습니다. 베르누이의 원리를 이용해 설명한 양력 이번에는 베르누이의 원리를 적용해서 비행기 양력을 설명하겠습니다.
옆에서 본 비행기 날개입니다. 유체가 출발점에서 도착점까지 동일한 시간 내에 이동한다고 생각해봅시다. 딱 봐도 날개 윗면으로 이동하는 유체가 아랫면으로 이동하는 유체보다 가야 할 길이 멀죠? 도착점에 동시에 도착하려면 윗면에 흐르는 유체의 유속이 더 빨라야 합니다. (1) 날개 윗면의 유속이 아랫면 유속보다 빠르다. 두 번째로 고려해야 할 점은 높이입니다. 분명 날개 윗면과 아랫면은 높이차가 존재합니다. 하지만 과연 비행기 날개 두께만큼의 높이차가 결괏값에 큰 변별력을 지니고 있을까요? 베르누의 방정식 원형을 적용하셔도 되지만 실질적으로 저 정도 높이차는 유의미한 차이가 아닙니다. 그래서 편의상 높이차를 무시하고 변형된 방정식을 활용하는 것이죠. (2) 윗면 아랫면 높이차를 고려하지 않는다. (1), (2) 두 가지를 전제로 두고 변형된 베르누이 방정식을 살펴봅시다.
윗면 유체의 유속이 더 빠르니 이 식에 따르면 윗면 유체가 지니는 압력이 더 작을 것입니다. 윗면의 압력을 P1 아랫면의 압력을 P2 라고 생각하고 아래 그림을 보시죠.
이처럼 압력이 강한 P2가 상대적으로 약한 윗면을 향해서 밀어올리기 때문에 비행기가 뜬다는 것이죠. 하지만 양력을 설명할 때 베르누이의 원리를 활용하는 것은 신뢰성이 떨어집니다. 이유는 다음과 같습니다. 1. 전제가 이상유체인데 음속을 넘어서면 압축성이기 때문에 전제조건에 부합하지 않는다. 2. 출발한 유체들이 도착점에 동시에 도착해야 한다는 역학 원리나 법칙은 없다. 이외에도 부가적인 이유들로 인하여 베르누이의 원리로는 양력을 설명하기 어렵습니다. 양력을 제대로 설명하려면 '순환 이론' 을 이용해야 하는데 여기서는 다루지 않겠습니다.
베르누이 방정식의 구성요소들을 살펴봅시다. ρ = 밀도 v = 유속 g = 중력가속도 h = 높이 P = 압력 음? 근데 이상하네요. 저 압력은 도대체 무슨 압력일까요? 보통 호스 분출구를 눌러서 유속이 빨라지면 분명히 유체가 더 강하게 분출되고.. 압력이 세다고 느껴지는데.. 왜 유속이 빨라지면 압력이 약해지는 걸까요?
여기서 압력 P는 유선 작용으로 작용하는 압력이 아닙니다. P는 그림처럼 특정 지점에서 모든 방향으로 작용하는 압력입니다. 정압이라는 의미입니다. 유선 방향으로의 압력은 P가 아닌 1/2ρv^2과 연관된다고 보시면 됩니다. 다시 정리해보자면 P는 방향을 고려한 압력이 아니라 해당 지점에서 작용하고 있는 압력입니다. 그래서 아까 양력을 설명할 때에도 부력을 다룰 때처럼 물체 위쪽과 아래쪽에 분포하는 압력을 단순비교한 것입니다. < 오늘의 핵심 포인트 > 동일한 높이에서 흐르는 유체에 베르누이 방정식을 적용하면 어떻다? 높이가 관여된 항을 무시한다. 베르누이의 원리로 양력을 설명하면 어떻다? 윗면이 아랫면보다 유속이 빠르므로 압력은 아랫면이 강하다. 그래서 유체가 날개 아래에서 위로 밀어올리게 된다. 베르누이의 원리로 왜 양력을 설명할 수 없는가? 1. 음속을 넘어서면 압축성 유체이다. 2. 유체가 날개를 지나 동시에 도착해야 할 이유가 없다. 베르누이 방정식에서 P는 어떤 압력이다? 그냥 해당 지점의 압력이다. |
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