다각형 대각선 개수 공식 - dagaghyeong daegagseon gaesu gongsig

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다각형 (n각형) 일때

1) 중등 과정 방법
예로 육각형을 그려서 설명 했습니다. 한 꼭짓점을 잡고그 꼭짓점과 양옆 이웃하는 점은 대각선을 그릴 수 없습니다. 그래서 n에서 3개를 뺍니다.
n각형이라 그 과정을 n번 반복하게 되죠.
그래서 n을 곱합니다.
근데 그 과정에서 1번 꼭짓점에서 3번째 꼭짓점로 가는 대각선을 그렸다면
3번째 꼭짓점에서 첫번째 꼭짓점으로 가는 대각선이 생겨 중복되게 됩니다.
그래서 중복되는 만큼 2로 나누어주면 됩니다.

2) 고등과정
조합 C를 이용해서 풀기
꼭짓점 n개 중에 2점을 택해야 선분이 그려집니다. 근데 대각선은 다각형에 변이 아니므로 n 개 만큼을 빼줍니다. 식을 정리하게 되면 중학교때 배운 공식이 다시 나옵니다.

3) 초등과정에서 고등과정
초등과정은 하나씩세는 것입니다.
그래서 보통 육각형 이하로 나오더라고요.
구할때 꼭짓점에 개수를 세는데 그게 또 규칙이 있습니다. 그래서 n번째 까지 확장 하여 고등과정에서 배우는 시그마 공식을 이용해서 풀면 똑같은 공식이 나옵니다.

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다각형 (n각형) 일때

중학교 때 배우는 방법은 한꼭짓점을 잡고요

그 꼭짓점과 양옆 이웃하는 점은 대각선을 그릴 수없죠. 그래서 n에서 3개를 뺍니다.

그다음 그렇게 한꼭짓점을 잡는 과정을 n번 반복하게 되죠. 그래서 곱합니다.

근데 그 과정에서 A에서 C로 가는 대각선을 그렸다면

C에서 A로 가는 대각선이 생겨 중복되게 됩니다.

그래서 2로 나누어주면 됩니다.

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두번째 방법은 조합 C를 이용해서 푸는 겁니다.

꼭짓점이 n개가 있으므로 n개 중에 2점을 택해야 선분이 그려집니다. 근데 대각선은 다각형에 변이 아니므로 n을 빼줍니다.

식을 정리하게 되면 중학교때 배운 공식이 다시 나옵니다.

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다각형이란, 3개 이상의 선분으로 둘러싸인 평면도형을 의미해요.

예를 들어 삼각형(선분 3개), 사각형(선분 4개), 오각형(선분 5개), 육각형(선분 6개) 등을 다각형이라고 합니다.

또한 다각형에서 이웃하지 않은 두 꼭짓점을 이은 선분을 대각선이라고 합니다.

  한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수

다각형의 대각선 개수를 구하기 전에

한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수에 대해 알아보도록 해요.

(1) 삼각형

삼각형에서 이웃하지 않은 두 꼭지점은 없기 때문에 대각선은 존재하지 않아요.

(2) 사각형

꼭짓점 A에서 그을 수 있는 대각선의 개수를 살펴보도록 해요.

대각선은 이웃하지 않은 꼭짓점과 꼭짓점을 이은 선분이기 때문에

A와 이웃하지 않은 꼭짓점을 찾으면 되겠죠?

자기 자신인 A와 양옆의 꼭짓점 B와 D를 제외한다면 이웃하지 않은 꼭짓점은 C뿐입니다.

따라서 사각형의 꼭짓점 A에서 그을 수 있는 대각선은 A와 C를 이은 선분이므로

대각선의 개수는 4-3=1 입니다.

여기서 4가 의미하는 것은 꼭짓점의 개수이고

3이 의미하는 것은 자기자신 1개와 양옆에 꼭짓점 2개를 더한 것을 의미해요.

(3) 오각형

꼭짓점 A와 이웃하지 않은 꼭짓점은

자기 자신인 A와 양옆의 꼭짓점 B와 E를 제외한 나머지 꼭짓점 C와 D입니다.

즉 오각형의 꼭짓점A에서 그을 수 있는 대각선은 A와 C를 이은 선분 과 A와 D를 이은 선분이므로

대각선의 개수는 5-3=2 입니다.

마찬가지로 5가 의미하는 것은 꼭짓점의 개수이고

3이 의미하는 것은 자기 자신 1개와 양옆의 꼭지점 2개를 더한 것을 의미합니다.

(4) n각형

일반화한다면 n각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 n-3입니다.

n이 의미하는 것은 꼭짓점의 개수,

3이 의미하는 것은 자기 자신 1개와 양옆의 꼭짓점 2개를 더한 것을 의미하겠죠?

  다각형의 대각선 개수 구하는 방법

(1) 삼각형

대각선은 존재하지 않습니다.

(2) 사각형

각각의 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수를 생각해보면,

A에서 그을 수 있는 대각선은 A와 C를 이은 선분이므로 1개,

B에서 그을 수 있는 대각선은 B와 D를 이은 선분이므로 1개,

C에서 그을 수 있는 대각선은 C와 A를 이은 선분이므로 1개,

D에서 그을 수 있는 대각선은 D와 B를 이은 선분이므로 1개입니다.

즉 꼭짓점은 4개이고 각각의 꼭짓점에 대해서 4-3=1개의 대각선이 존재하므로 모두 합하면

(4-3)+(4-3)+(4-3)+(4-3)

=4×(4-3)=4 입니다.

그런데 A와 C를 이은 선분과 C와 A를 이은 선분은 같고, 마찬가지로 B와 D를 이은 선분과 D와 B를 이은 선분은 같기 때문에 반절이 겹쳐진다는 것을 알 수 있어요.

따라서 중복해서 센 횟수를 제거한다면 사각형의 대각선의 개수는 

(3) 오각형

A에서 그을 수 있는 대각선은 A와 C를 이은 선분과 A와 D를 이은 선분이므로 2개,

B에서 그을 수 있는 대각선은 B와 D를 이은 선분과 B와 E를 이은 선분이므로 2개,

C에서 그을 수 있는 대각선은 C와 A를 이은 선분과 C와 E를 이은 선분이므로 2개,

D에서 그을 수 있는 대각선은 D와 A를 이은 선분과 D와 B를 이은 선분이므로 2개,

E에서 그을 수 있는 대각선은 E와 B를 이은 선분과 E와 C를 이은 선분이므로 2개라는 것을 알 수 있습니다.

마찬가지로 꼭짓점은 5개이고 각각의 꼭짓점에 대해서 5-3=2개의 대각선이 존재하므로 모두 합하면

(5-3)+(5-3)+(5-3)+(5-3)+(5-3)

= 5×(5-3)=10 이며,

여기에서 중복하여 센 횟수를 제거한다면

(4) n각형

n각형의 꼭짓점의 개수는 n개,

각각의 꼭짓점에 대해서 n-3개의 대각선이 존재하므로 모두 합하면 (n-3)+(n-3)+ ··· +(n-3)=n(n-3) 이며,

중복하여 센 횟수를 제거하면

※ 공식

n각형의 대각선의 개수=

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