| <시에르핀스키 피라미드와 주령구 만들기> ▲ 활동목적 1) 시에르핀스키 피라미드를 통하여 ‘자기닮음’ 의 개념을 알 수 있다. 2) 시에르핀스키 삼각형과 피라미드에서 수의 규칙성을 찾을 수 있다. 3) 신라시대 주사위 주령구 만들기를 통하여 우리 민족의 수학적 우수성과 독창성을 안다. ▲ 활동내용 및 수학적 원리 ◎ 시에르핀스키 피라미드 - 자기닮음, 반복성, 수의 규칙 찾기 1) 시에르핀스키 삼각형이 무엇인지 알아본다(활동지1 이용) 2) 4D프레임으로 만들어진 각 단계별 시에르핀스키 피라미드를 관찰하고 특징을 찾아본다. (활동지1 이용) 3) 정사면체 전개도를 이용하여 시에르핀스키 피라미드 만든다(1단계) ◎ 주령구 - 다면체, 확률의 개념 4) 주령구가 무엇이고 용도가 무엇인지 알아본다. (활동지2 이용) 5) 주령구의 각 면에 적힌 14가지 내용을 알아본다. (활동지 2이용) 6) 주령구가 가진 특징을 살펴보고 우리 민족의 수학적 우수성에 대해 생각해 본다. (활동지 2이용) 7) 전개도를 이용하여 주령구를 만들고 각 면을 창의적으로 꾸며 본다. ▲ 기대효과 1) 시에르핀스키 피라미드를 통하여 ‘자기닮음’ 도형에 대해 알고, 수의 규칙성을 찾아봄으로써 입체도형에 대해 친밀감을 갖는다. 2) 주령구를 통하여 우리 민족의 수학적 우수성을 알고 자부심을 갖는다. ▲ 실제로 해보기 <시에르핀스키 피라미드 만들기> 1> 시에르핀스키 삼각형이란?<그림 1> 시에르핀스키 삼각형은 1917년경 이것을 제시한 폴란드의 수학자 바츨라프 시에르핀스키(Waclaw Sierpinski)의 이름을 딴 것이다. 이것은 점점 더 미세한 구조로 ‘자기닮음(self-similarity)’과 '반복성'의 성질을 가지는 프렉탈 형태의 기하학적인 도형이다. 이 삼각형을 만드는 과정을 살펴보자. ①색칠되어져 있는 임의의 정삼각형에서 ②주어진 삼각형의 변의 중점을 꼭짓점으로 하는 삼 각형을 그려 합동인 4개의 작은 정삼각형을 만든다. ③가운데 있는 작은 정삼각형을 제거하여 3개의 정 삼각형만 남긴다. ④남아있는 3개의 색칠되어진 정삼각형들에서 위의 과정을 반복하여 시행한다. ⑤ 이런 과정을 무한히 되풀이하면 평면상에 점들의 집합이 나타나는 데 이것이 시에르핀스키 삼각형이다 (1) 각 단계별로 생기는 정삼각형의 수를 살펴보면, 0단계 1개, 1단계 3개, 2단계 ( )개, 3단계 ( )개, 4단계 ( )개 이다. 이런 과정이 반복되면, n단계에서는 ( )개의 작은 삼각형들이 남는다. (2) 0단계 정삼각형의 한 변의 길이를 1이라 하고 각 단계별로 생기는 정삼각형의 한 변의 길이를 살펴보면, 1단계 , 2단계 ( ) , 3단계( ), 4단계 ( )이다. 이런 과정이 반복되면, n단계 후에 생기는 정삼각형의 한 변의 길이는 ( )이다. 2> 시에르핀스키 피라미드란? 위의 시에르핀스키 삼각형을 공간으로 확장시킨 입체도형이다. 이 입체도형은 처음에 주어진 정사면체의 모서리의 중점을 연결하였을 때 생기는 작은 피라미드 4개를 제외한 가운데 부분(정팔면체)을 제거하는 과정을 무한히 반복했을 때 생기는 프렉탈 형태의 입체도형이다. (1) 시에르핀스키 피라미드의 각 단계별 정사면체의 수를 살펴보면, 0단계 1개, 1단계 ( )개, 2단계 ( )개, 3단계 ( )개, 4단계( )개, n단계( )개 (2) 주어진 전개도로 1단계의 시에르핀스키 피라미드를 만들어 보자. <신라시대 주사위 주령구 만들기> 1. 주령구(酒令具)란 무엇인가? 통일신라시대의 유물인 이 주사위는 6개의 정사각형과 8개의 육각형인 면을 가지고 있는 14면체 입체도형이다. 14면에 여러 가지 벌칙이 적혀 있는 것으로 보아 귀족들이 모인 흥겨운 자리에서 놀이 도구로 쓰였을 것으로 추측된다. *14면에 적힌 벌칙 내용 <정사각형> ①음진대소(飮盡大笑·술 마시고 크게 웃기) ②삼잔일거(三盞一去·술 석 잔을 ‘원샷’하기) ③자창자음(自唱自飮·혼자 노래 부르고 술 마시기) ④금성작무(禁聲作舞·소리내지 않고 춤추기 ⑤중인타비(衆人打鼻·여러 사람으로부터 코를 맞기) ⑥유범공과(有犯空過·여러 사람이 덤벼서 장난쳐도 참기) <육각형> ⑦추물막방(醜物莫放·더러워도 버리지 않기) ⑧양잔즉방(兩盞則放·술 두 잔을 빨리 마시고 다른 이에게 돌리기) ⑨임의청가(任意請歌·아무나 지목해 노래 청하기) ⑩곡비즉진(曲臂則盡·팔을 구부리고 술을 다 마시기) ⑪농면공과(弄面孔過·얼굴을 간지럽게 해도 참기) ⑫자창괴래만(自唱怪來晩·‘괴래만’이라는 노래를 부르기) ⑬월경일곡(月鏡一曲·‘월경’이라는 노래 부르기) ⑭공영시과(空詠詩過·시 한 수 읊기) 2. 주령구가 갖는 특징은 무엇인가? 실제 주령구의 각 면의 넓이를 계산하면, 정사각형의 넓이는 6.25 , 육각형의 넓이는 6.265 이다. 넓이의 비에 따른 확률이 14면 주사위의 수학적 확률이므로 주사위를 굴렸을 때 각 면이 나오는 확률이 거의 같다. 실제로 이강섭 단국대 수학교육과 교수는 1987년, 제자들과 함께 안압지 주사위 복제품을 만들어 7000번 던지는 실험을 하여 각 면이 나올 확률이 평균적으로 500번(7000번÷14면=500번)에 수렴(收斂)함을 확인했다. 3. 주령구가 갖는 역사적 의미는 무엇인가? 각 면이 모두 합동인 정다면체는 정4면체, 정6면체, 정8면체, 정12면체, 정20면체 5개 뿐이다. 그런데 신라의 장인들은 정다면체 아닌 14면체의 각 면 넓이를 거의 똑같이 만들어, 각 면이 나올 확률이 동일한 주사위를 만들었다. 이런 주사위는 세계적으로 유래가 없다. 따라서 주령구는 수학과 관련된 우리의 자랑스런 문화유산이다. <자료제공 : 전주교육청 수학동아리 ‘동심원’, 평가위원 모임 ‘실마리’> 저작권자 © 전북도민일보 무단전재 및 수집, 재배포 금지 
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반응형 정삼각형의 각변의 중점을 연결하여 만들어진 정삼각형들 중에서 가운데 것을 지워 나가는 일을 한없이 되풀이하면 시어핀스키 삼각형이 생겨난다.
이 삼각형에서 제거되는 삼각형들의 넓이는 공비가 $\frac{3}{4}$인 등비수열을 이룬다.
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