등비수열 원리합계 공식 - deungbisuyeol wonlihabgye gongsig

수열에서 학생들이 어려워 하는 것 중에 가장 처음 맞이하는 난관은 바로 원리합계이다.

사실 처음 등차수열과 등비수열이 나올 때는 생각보다 간단한 개념에 간단한 몇가지 공식들.. 쉽다는 생각을 하게 되는데,

그러다가 뒤통수를 치듯 나타나는 등비수열의 원리합계 파트는 학생들을 좌절하게 만든다..

하지만!

사실 등비수열의 원리합계는 참 쉽다.

그럼 등비수열의 원리합계를 쉽게 배워봅시다..ㅋㅋㅋ

일단 가장 중요한 것.

원리합계란 무엇인가.

원리합계는 원금과 이자의 합계를 말한다.

일정한 금액을 일정 기간 동안 적립하였을 때, 일정한 이율로 받는 이자를 포함하여 총 얼마가 되어 있을까.. 하는 질문에 대한 답이라고 생각하면 된다.

간단한 예를 들면,

매달 100만원씩 이자가 5%인 정기 적금을 들려고 한다.

2년 동안 적금을 넣었을 때, 2년 후 내가 받을 돈의 총액은?

뭐, 이런 질문에 대한 답을 찾는 것이라고 할 수 있다.

그런거 은행에서 계산해 주는데 왜 배우나요ㅜㅜ

라고 한다면, 뭐..

세상에 본인이 못하는 일을 대신해 줄 사람은 많다.

단지 본인이 아는 상태로 일을 대신해 줄 사람을 찾는 것과

전혀 지식이 없는 상태로 일을 대신해 줄 사람을 찾는 것은 전혀 다른 개념이다.

내 생각에이 부분은, 수학에 몇 없는 직접적으로 우리에게 필요한 부분이라고 생각한다.

어쨌든..ㅋㅋㅋㅋ

이자의 계산법에는 두 가지가 있다.

바로 단리와 복리.

간단히 말하자면, 단리는 원금에만 이자가 붙는 형태이고, 복리는 이자에도 이자가 붙는 형태이다.

예를 들어보자.

단리와 복리의 차이를 표로 나타낸 것이다.

똑같이 100만원씩 입금을 하고 매달 10프로의 이자가 붙는다고 가정하자.

(물론.. 이런 말도안되는 금리의 상품은 없다..ㅋㅋㅋㅋ)

단리의 경우,

원금을 100만원 입금한 후, 1달이 지나면그에 대한 이자인 10만원(100만원의 10프로)이 생긴다.

2달이 지나도 이자는 똑같다. 한 달이 지났기 때문에, 원금에 대한 10프로인 10만원이 이자로 붙는다.

그렇기 때문에 100만원을 입금하고 10프로 금리로 이자를 받을 경우, 4달 뒤 총액은 140만원이다.

그렇다면 복리는 어떻게 될까.

복리는 나에게 더해진 이자에도 이자가 붙는다.

첫달은단리와 같다. 통장에는 원금인 100만원만 들어 있었고, 그에 대해서만 이자가 붙는다.

하지만 둘 째달부터 금액이 달라지는데,

원금에 붙는 이자 10프로는 같지만, 첫 달에 더해진 이자 10만원에 대한 10프로인 1만원이 추가로 가산된다.

그 이후에도 이자에 이자가 붙게 되는데, 3달째에는 2달째의 총 이자 합계인 21만원의 10프로, 즉 2.1만원이 가산된다.

4달째에는 3달째까지의 이자 총합인 33.1만원의 10프로인 3.31만원이 가산된다.

따라서 복리의 이자가 붙는 경우, 4개월 뒤 146만 4천 백원이 된다.

단리로 이자를 받는 경우보다 26만 4천 백원이 더 증가하는 결과.

실 생활에서 복리로 이자를 주는 경우는 돈을 빌리는 경우가 대부분이지만..ㅜㅜ

복리의 힘은 어마어마해서 돈을 빌릴때도, 돈을 모을 때도 꼭 주의 해야 한다.

우리가 일반적으로 수열 단원에서 배우는건 복리이다.

복리로 이자가 붙은 금액의 원리합계.

간단한 복리 이자의 원리합계를 계산해보자.

물론 문제집이나, 시험에 나오는 문장은 더 유려하고 친절하지만, 어쨌든 문제를 풀어보자.

매달 100만원씩 입금한다.

이율은 5%

10달 동안 초에 입금하고

10달 후의 금액이 궁금하다.

어떻게 풀까.

일단 원리를 먼저 설명해보자.

우선 ‘초＇와 ‘말＇에 대해 정의를 내려둘 필요가 있다.

매달 초에 입금하는 거라면 매달 1일이라고 생각하면 된다.

똑같이 매달 초에 입금이라면,

10달째 말에 확인이라면 10번째 달의 시간 동안 은행에 돈이 있었던 것이 되기 때문에 10번째 달에 해당하는 이자가 포함된다.

하지만 10달 째 초에 확인이라면 10번째 달의 시간 동안 은행에 있기 전에 확인하는 것이기 때문에 10번째 달에 해당하는 이자는 포함되지 않는다.

이자는 한달 동안 은행에 있어야 계산되고, 문제에서는 초, 혹은 말에 입금과 이자 확인을 하게 된다고 생각하면 된다.

현실처럼 15일에 입금하는 사태는 없으니, 무조건 1일 혹은 말일이라고 생각하면 편하다.

자,

10달 동안 각 달에 입금한 돈은 다음과 같이 이자가 붙게 된다.

위에서 두번째 줄인 1달에 넣은 돈을 보자.

1달 초에 넣은 100만원은 2달 초가 되면 한달이 지나면서 이자가 1회 붙는다.

이자는 5%이므로, 전체의 0.05배이다. 그러므로

원금+이자 = 원금+(원금x이율) = 원금(1+이율)

이 된다.

따라서 이율이 5%일 때, 1회 이자가 붙으면 (1+이율)을 곱하게 된다.

다시 이어서.. 1달 초에 넣은 금액은 3달 초가 되면 이자가 한번 더 붙어서 100(1.05)2 가 되고, 그렇게 매달 매달 이자가 붙어서 10달 초에는 이자가 9번 붙어서 100(1.05)9가 된다.

문제에서는 10달 후의 원리합계를 물었기 때문에, 10달 말에는 한 달이 더 지나 이자가 한번 더 붙게 되고, 결과적으로 1달에 넣은 돈은 10달 후에 100(1.05)10이 된다.

2달초에 넣은 돈도 마찬가지 이다. 매 달 이자가 붙으면 10달 초에는 이자가 8번 붙고, 10달 말이 되면 한번 더 이자가 붙어서 100(1.05)9이 된다.

이런 식으로 매달 입금한 금액의 10달 후의 금액을 따로 계산을 하면 최종적으로 10달 후에는 오른쪽 붉은 부분의 금액이 된다.

오른쪽 붉은 부분의 금액의 합은?

등비수열로 풀면 합계를 쉽게 구할 수 있다.

가장 아래, 즉 10달에 넣은 돈의 최종금액은 100(1.05)로 초항이 된다. 그리고 위로 올라갈 수록 (1.05)가 한번씩 곱해지므로 공비는 (1.05). 그리고 총 10개의 항이므로 항의개수는 10개이다.

따라서 각 요소를 이용하여 등비수열의 합계 공식으로 문제를 풀면, 이렇게 식을 세울 수 있다.

뭐, 1.05의 10제곱 같은 경우는 일반적으로 문제에 값이 주어지므로, 주어진 값을 대입하여 차근차근 계산해주면 된다.

그렇다면 이렇게 매번 표를 그려서 이해해야 하는가…

당연히 아니다.

원리를 이해하는 것을 바탕으로 한다면, 쉽게 계산하는 방법이 있다.

일단, 등비수열의 계산에서 제일 중요한 점은, 우리에게 필요한 요소가 총 4가지라는 것이다.

초항, 공비, 항의 순번, 결과값.

어떤 문제든 일반항 혹은 특정항의 값이나 그까지의 합을 구할 때 우리는 저 4가지 중에 3가지를 알면 된다.

그러면 식을 세워서 나머지 하나를 알아낼 수 있다.

어차피 원리합계는 등비수열의 합의 공식을 사용하는 문제이다.

그러면, 우리는 저 4가지 값 중, 결과값을 제외한 첫 번째 항, 공비, 항의 순번만 알면 원리합계를 계산할 수 있다는 이야기다. 

다시 돌아가서…

사실 원리합계 문제에서 항의 순번과 공비는 매우 쉽다.

대부분의 문제에서 항의 순번인 n은 입금한 횟수를 의미하고, 공비는 '1+이율'을 의미한다.

그렇다면 첫째항은?

첫 째 항은 마지막에 입금한 돈의 결과값을 의미한다.

마지막에 넣은 돈이 최종적으로 얼마가 되어 있느냐,

다시 말해 마지막에 넣은 돈에 이자가 몇 번 붙었느냐가 중요하다.

따라서 위 문제를 다시 보면,

표를 그리지 않아도 공비가 1.05이고, 항의 순번이 10이라는 것을 알 수 있다.

그렇다면 첫째항은?

10달동안 입금하기 때문에 10번째 달 초에 마지막 입금을 하게 된다.

그 돈은 10달 후에 확인하므로, 10번째 달 말에 확인하게 되기 때문에 이자는 한번 붙는 것을 알 수있다.

따라서 매달의 납입금인 100만원에 이자가 1번 붙은 100(1.05)가 초항이 되는 것이다.

그럼비슷한 다른 문제를 한번 풀어보자.

주어진 문제를 보자.

우선 공비와 항의 개수는 구하기 쉽다.

공비는 1+이율이므로 1.07

10달동안 입금을 하기 때문에 항의 개수는 10이다.

그렇다면 초항을 구해보자.

초항은 마지막에 입금한 돈의 결과값이다.

마지막 입금은 10번째 달 초에 이루어졌을 것이다.

그리고 그대로 계좌에 예치되어 있다가 15번째 달 말에 확인하게 된다.

그렇다면, 11달 초가 되면 1달이 지난 것이므로 이자가 1번, 12달 초에 이자가 2번… 15달 초에는 이자가 5번 붙게 되고, 15달 말에는 이자가 6번 붙는다.

따라서 마지막에 입금한 돈의 결과는 10(1.07)6이다.

따라서 초항은 10(1.07)6가 된다.

초항, 공비, 항의 개수를 이용하여 등비수열의 합의 공식을 이용하여 계산하면, 결과가 나온다.

모든 원리합계의 계산은 이런 식으로 생각하면 편하다.

하지만,

원리합계 문제가 이런 식의 ‘적립＇만 있는 것은 아니다.

원리합계 문제는 크게 세가지로 나뉜다.

전체적인 유형은 이렇게 세가지이다.

적립은 지금까지 예시로 들었던, 가장 기본적인 형태의 문제이다.

적금 등으로 일정금액씩 납입할 때의 원리합계를 물어보는 문제이다.

그렇다면 할부는?

일정금액을 일정기간에 걸쳐 정기적으로 갚으려고 할 때 회당 납입금을 구하는 문제이다.

이렇게 말하면 뭔가 어렵지만, 간단히 말해서 할부로 산 물건이 있을 때, 매달 얼마씩 입금해야 하냐는 문제.

연금은

매달 받기로 한 연금금액을 지금 당장에 몰아서 한번에 받을 때 내가 받을 수 있는 금액을 구하는 문제이다.

이 모든 문제에서 중요한 것은 ‘시점’이다.

우선 할부를 먼저 살펴보자.

할부에서 중요한 점은,

현재의 300만원과 5개월 후의 300만원은 가치가 다르다는 점이다.

만약 내가 300만원짜리 물건을 5개월 할부로 사서 매달 60만원씩 5회로 갚아 300만원을 만든다면, 300만원을 5개월이나 늦게 받는 판매자는 손해를 입게 된다.

따라서,

내가 매달 내는 납입금을 5개월 동안 적립했을 때의 5개월 후의 원리합계와

5개월 후의 300만원의 가치, 즉 300만원을 지금 받아서 5개월 동안 한 푼도 안 썼을 때의 가치가 같아야 한다는 얘기다.

하지만 원리는 같다.

초항, 공비, 항의개수, 결과물 중 3개를 알면 나머지 하나를 구할 수 있다.

우리가 여기서 알아야 하는 건 초항이다.

계산을 하면,

우선, 매달 내는 납입금을 a라 하고,5개월 동안 적립했을 때 5달 후의 원리합계를 생각하면,

공비는 1+이율 이므로 1.03이고, 항의 개수는 입금횟수니까 5번,

초항은 마지막에 넣는 돈의 결과물인데, 마지막에 납입을 하는 순간 채무관계는 해소가 되므로 마지막에 넣은 돈이 초항인 a가 된다.

그리고 300만원의 채무가 끝났을 당시의 가치는 300만원의 채무가 발생한 뒤로 5개월 뒤 이므로, 300(1.03)5이다.

따라서 식을 위와 같이 세울 수 있다.

연금은 할부와 매우 흡사하다.

매달 받기로 한 금액을 지금 당장 목돈으로 받았을 때의 금액.

다시 말해 할부에서 ‘할부로 산 물건의 현재 가격＇을 물어보는 것과 같다.

따라서, 위 문제를 보면,

매달 100만원씩 60개월 동안 모았을 때의 원리합계와, 지금 한번에 받을 금액을 60개월동안쓰지않고 있을 때의 60개월 후의 가치가 같아야 한다.

매달 100만원씩 60개월 동안 모았을 때의 원리합계는,

공비는 1+이율이므로 1.03, 항의개수는 60개월 동안 받기 때문에 60.

초항은 마지막 연금을 받는 순간을 기준으로 하면 마지막 연금의 금액에서 더 이자가 생기지 않으므로 100만원이다.

현재 받을 목돈의 60개월 후 가치는,

1회차 연금을 받는 시점에서 목돈을 받았다면,

2회차 연금을 받는 시점에 이자가 1번 붙게 되므로,

3회차 연금을 받는 시점엔 이자가 2번,

4회차 연금을 받는 시점엔 이자가 3번…

이런식으로 생각하면 60회차 연금을 받는 시점엔 이자가 59번 붙게 된다.

따라서 식이 위와 같이 쓰여지게 된다.

식은 뭐, 방정식으로 풀면 되니까.ㅋㅋ

하아.. 원리합계 진짜 페이지는 14개 밖에 안되는데 엄청 시간 오래 걸리네ㅜㅜ

원리합계는 식을 외우는게중요한게 아니다.

원리를 이해하고, 돈의 가치에 있어서 어느 누구도 손해보지 않도록 계산하는 것이 중요하다.

다음시간은 언제 돌아올진 모르지만..

여러가지 수열을하는걸로…ㅋㅋㅋ