선형 대수의 이해 답지 - seonhyeong daesuui ihae dabji

• 주제분류자연과학 >수학ㆍ물리ㆍ천문ㆍ지리 >수학
• 강의학기2013년 1학기

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선형대수학의 주된 학습내용은 선형방정식의 이론과 해법, 행렬과 행렬식, 유클리드 공간의 스칼라 및 벡터에 관한 성질들, 벡터공간의 개념과 활용, 내적과 외적, 고윳값과 교유벡터, 선형변환과 응용 등이며, Web에서 교육할수 있는 원격강좌로 개발됨

'고대 수학자인 피타고라스는 만물의 근원이 수로 이루어져 있다고 주장하였다. 이 세상의 모든 것들을 수로 표현할 수 있다는 생각으로 당시에는 정수라는 수의체계 안에서 한계가 곧 드러났지만 2500여 년이 지난 지금 우리는 과학과 수학의 엄청난 발전과 함께 ‘세상의 모든 문제는 수학으로 표현 가능한 시대’, 즉 4차 산업혁명시대에 살고 있다. 실제로 인공지능, 기계학습, 빅데이터, 생명과학, 로봇기술 등 다양한 첨단기술들이 산업, 경제, 사회 전반에 걸쳐 융합되어 이용되고 있고 이러한 변화의 배경이자 근원은 정보통신 기술 또는 컴퓨팅 능력의 발달에 있다. 4차 산업혁명의 핵심은 세상의 여러 가지 문제를 컴퓨터가 이해할 수 있는 언어로 표현하는 과정에 있다. 이러한 과정에서 사용되는 필수적인 언어가 수학이며 수학적 모델링이라고 한다.

선형대수학은 행렬과 벡터를 다루는 과목으로 수학적 모델링 과정의 가장 근본이 되는 수학적 이론이다. 수많은 정형, 비정형 데이터를 컴퓨터가 이해할 수 있는 직사각형의 배열로 나열하여 방대한 양의 데이터를 처리하고 수차례 반복되는 수식의 계산을 쉽고 효율적으로 할 수 있게 해준다. 현실세계의 여러 가지 복잡한 현상들을 선형적으로 바로 이해할 수는 없지만, 거시적으로 단순화하거나 미시적으로 세분화하여 대부분의 모델들을 선형화할 수 있기 때문에 선형대수학은 그 응용범위가 넓고 수리모델링의 기초적인 출발점으로 자연과학을 비롯한 이공계의 여러 분야 및 사회과학 분야에서 기본 교과목으로 가르치고 있다.

선형대수학의 다양한 활용과 그 중요성으로 인하여 엄밀하고 논리적인 증명을 다루는 서적과 다양한 예들을 통하여 계산능력을 강조하고 실용적인 컴퓨터 프로그램 활용법을 소개한 저서, 원서 및 번역서 등 많은 교재들이 시중에 판매되고 있다. 그럼에도 불구하고, 이 책은 한 학기에 걸쳐 선형대수학 입문 과정에 적합한 내용으로 구성되어 다양한 전공 분야의 학생들이 쉽고 친근하게 선형대수학의 기본 이론을 익히고 기초를 다질 수 있도록 하는 목적으로 집필하였다. 이공계와 사회과학 분야의 각 전공 학생들이 전공을 이수하는 데 필요한 기본적인 이론과 배운 내용을 이해할 수 있는 기초적인 핵심 문제 중심으로 구성되어 수학에 대한 부담을 줄이고 체계적이고 논리적인 사고와 문제해결능력을 바탕으로 추후 응용문제를 해결할 수 있는 역량을 기르는 데 그 목적을 두고 있다.

이 책의 각 장에서 다루는 내용은 다음과 같다.
1장에서는 벡터개념의 이해를 통하여 벡터들의 일반적인 연산을 정의하며 벡터들의 집합이 대수적인 구조를 가짐을 보이고 직선과 평면의 방정식에 활용하는 방법을 배운다.
2장에서는 벡터들의 연산체계를 이용하여 연립일차방정식의 체계적이고 효과적인 해법과 해의 구조를 이해하는 방법을 배운다.
3장에서는 행렬의 기본적인 연산을 정의하고 행렬의 대수적인 체계와 주요 성질을 배운다.
4장에서는 행렬식의 기본성질과 원리를 소개하고 행렬식의 전개와 그 활용에 대하여 배운다.
5장에서는 유클리드 벡터공간을 중심으로 일반적인 벡터공간의 부분공간, 행렬의 영공간, 행공간, 열공간 등 여러 가지 벡터공간의 개념과 벡터의 일차독립과 일차종속, 기저와 차원 등 벡터공간의 구조와 주요 성질에 대하여 배운다.
6장에서는 정사각행렬의 작용과 선형변환의 해석에 중요한 역할을 하는 고윳값, 고유벡터, 고유공간을 정의하고 이를 이용하여 행렬의 대각화하는 과정과 대각화를 활용한 응용문제의 해법을 배운다.
7장에서는 벡터공간들 사이의 선형변환을 정의하고 선형변환과 행렬의 대응관계를 통하여 추상적으로 정의되는 선형변환을 단순한 수의 배열로 이해할 수 있음을 배운다.
8장에서는 유클리드 벡터공간의 내적의 개념을 확장하여 일반적인 벡터공간에서 내적을 정의한다. 또한 벡터의 정규직교화 과정을 통하여 유클리드 벡터공간의 직교좌표계의 개념을 일반적인 벡터공간에서 일반화하는 과정을 배운다.

이 책은 수학을 전공하지 않은 다양한 독자를 대상으로 선형대수학의 기본이론을 쉽게 배우고 익힐 수 있도록 구성되었다. 모든 독자들이 선형대수학의 중요성을 인식하고 흥미를 가질 수 있기를 바라며, 출간 후 나올 수 있는 수정사항 등은 자유아카데미 홈페이지(www.freeaca.com) 자료실에 제공할 예정이니 참고하기를 바란다.

[선형대수학(솔루션) - 1] Linear Algebra and its Application by Strang: Ch 1.5 연습문제 해설(1-10번) SH ・ 2019. 9. 15. 0:10 선형대수학 과목의 교재는 'Linear Algebra and its Application(Strang)' 이라는 책이다. 요즘 교재의 연습문제를 풀기 시작했는데, 혹시 같은 책으로 공부하거나 다른 책이더라도 선형대수학을 공부하는 사람들과 문제풀이를 공유하면 좋을 것 같아 풀이를 올린다. 우선 오늘은 Gauss Elimination과 Triangular Factorization 내용에 해당하는 Ch 1.5의 연습문제 1-10번의 문제에 대한 해설을 올린다. 10번 문제 중에서는 3, 5, 7번 문제가 중요한 것 같다. ​ 혹시 필자의 해설에 잘못되었거나 보완이 필요한 부분 혹은 궁금한 점이 있다면, 댓글로 남겨주시면 좋을 것 같다. 첨부파일 Strang_1.5_Solution(Prob. 1 to 10).pdf 파일 다운로드