상세 컨텐츠본문 제목평면의 방정식과 D의 의미 게임엔진공부 by 뿡뿡이형 2019. 12. 19. 21:00 본문평면의 방정식 ax + by+ cz + d = 0  위 그림의 n벡터를 <a,b,c>라고 할 때 평면 방정식에 넣으면 0 = <a,b,c> · (x - x0 , y - y0 ,z - z0) = a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = ax + by + cz - ax0 - by0 -cz0 평면의 방정식의 a,b,c는 평면의 노말을 뜻한다. 참고 : https://www.youtube.com/watch?v=loBqLpgK9c0 D의 의미 참고: https://www.youtube.com/watch?v=GBhH1UNr1VI 관련글 더보기
공간에서 직선을 방정식으로 표현할수 있듯이 평면도 방정식으로 표현할수 있습니다. 위 그림에서 두 점 여기서 따라서 그러므로 평면의 벡터방정식은 －평면의 벡터방정식－ 한 점
따라서 이것을 전개하면 간단하게 －평면의 방정식－ 한 점
간단하게
위 식을 보면 평면의 방정식은 x,y,z에 대한 일차식임을 알수 있습니다. 만약 평면이 세 점 A(a,0,0) , B(0,b,0) , C(0,0,c) (abc≠0) 을 지난다면 다음과 같이 구할수 있습니다. 주어진 평면의 법선벡터를 따라서 입니다. 그리고 평면은 점 A를 지납니다. 따라서 평면의 방정식은 전개해서 정리하면 따라서 다음을 얻습니다. －정리 1－ 세 점
ex1) 한 점 (2,4,－1) 을 지나고 법선벡터가 평면의 방정식을 구하고 그 그래프를 그리시오. (풀이) 한 점 (2,4,－1) 을 지나고 법선벡터가 전개하면 2x＋3y＋4z＝12 이다. 그래프를 그리면 아래와 같다. ex2) 세 점 P(1,3,2) , Q(3,－1,6) , R(5,2,0) 을 지나는 평면의 방정식을 구하시오. (풀이) 주어진 평면의 법선벡터를 법선벡터는 이다. 주어진 평면은 점 P를 지나므로 평면의 방정식은 ex3) 직선 (풀이) 주어진 직선을 매개변수 형태로 쓰면 x＝2＋3t , y＝－4t , z＝5＋t 이다. 이것을 평면에 대입하면 4(2＋3t)＋5(－4t)－2(5＋t)＝18 이므로 t＝－2 t＝－2 이면 x＝－4 , y＝8 , z＝3 따라서 교점의 좌표는 (－4,8,3) 이다. ex3) 두 평면 x＋y＋z＝1 , x－2y＋3z＝1 이 이루는 각의 크기를 구하시오. (풀이) 두 평면의 법선벡터는 각각 두 평면에 수직이므로 두 평면이 이루는 각의 크기는 두 법선벡터가 이루는 예각의 크기와 같다. 따라서 두 평면이 이루는 각의 크기를 θ라 하면 두 평면의 법선벡터는 각각 <1,1,1> , <1,－2,3> 이므로 직선과 직선이 이루는 각 평면과 평면이 이루는 각 이것은 두 방향벡터가 이루는 예각의 크기와 같습니다. 그런데 직선과 평면이 이루는 각을 구할떄는 주의해야 할 점이 있습니다. 위 그림처럼 평면의 법선벡터 직선과 평면이 이루는 각의 크기는 따라서 직선과 평면이 이루는 각의 크기를 알기 위해 벡터의 외적을 이용하면 두 평면의 교선의 방정식을 쉽게 구할수 있습니다. 일단 직관적으로 생각할수 있는 사실이지만 두 평면은 두 평면의 교선을 포함합니다. 따라서 두 평면의 법선벡터를 교선의 방향벡터를 그러므로 교선의 방향벡터는 두 법선벡터의 외적입니다. －정리 2－ 법선벡터가 각각 ex4) 두 평면 x＋y＋z＝1 , x－2y＋3z＝1 의 교선의 방정식을 구하시오. (풀이) 두 평면의 법선벡터는 각각 <1,1,1> , <1,－2,3> 이므로 교선의 방향벡터는 한편 두 평면에 z＝0 을 대입하면 x＋y＝1 , x－2y＝1 이 연립방정식을 풀면 x＝1 , y＝0 이 나온다. 따라서 교선은 점 (1,0,0)을 지난다. 그러므로 교선의 방정식은 아래 그림에서 라고 할 때 점과 직선 사이의 거리 D를 구하는 방법은 다음과 같습니다. 위 그림에 있는 평면을 ax＋by＋cz＋d＝0 이라고 하면 위 그림에서 길이가 D인 선분과 따라서 입니다. －정리 3－ 점 ex5) 평행한 두 평면 10x＋2y－2z＝5 , 5x＋y－z＝1 사이의 거리를 구하시오. (풀이) 두 평면이 평행하기 때문에 한 평면 위의 점을 하나 잡아서 그 점과 다른 평면 사이의 거리를 구해도 된다. 10x＋2y－2z＝5 위의 점 이 점과 평면 5x＋y－z＝1 사이의 거리를 구하면 ex6) 꼬인 위치에 있는 두 직선 사이의 거리를 구하시오. (풀이) 두 직선은 꼬인 위치에 있으므로 교점을 갖지 않는다. 따라서 두 직선 L₁, L₂를 포함하는 평행한 두 평면 p₁,p₂를 만들수 있다. 두 평면이 평행하고 그 평면은 직선을 포함하므로 두 평면의 법선벡터는 두 직선의 방향벡터와 동시에 수직이다. 두 직선의 방향벡터는 각각 <1,3,－1> , <2,1,4> 이므로 법선벡터는 따라서 L₁을 포함하는 평면은 점 (1,－2,4) 을 지나므로 그리고 직선 L₂위의 점은 (0,3,－3) 점 (0,3,－3) 과 평면 13x－6y－5z－5＝0 사이의 거리는 두 직선 사이의 거리와 같으므로 구하면 내용출처 : Calculus 6E－James Stewart P.S : 직선의 경우에는 두 점을 지나는 직선의 방정식이 공식화되어 있는데 평면의 경우에는 세 점을 지나는 평면의 방정식이 공식화 되어있지 않습니다. 그 이유는 세 점을 지나는 평면의 방정식을 공식화시킨게 너무 복잡하기 때문입니다. 실제로 세 점 이렇게 나옵니다. 복잡하네요....ㄷㄷ 삼각형 PQR의 넓이를 구하는 것도 공식화되지 않은 이유는 위와 같습니다. '복잡해서' 입니다. 쓰는 김에 삼각형 PQR의 넓이도 그 결과만 쓰면 이렇게 나옵니다. 이거 외울 용자분 계시나요? 위 식은 벡터의 외적을 이용하면 모두 유도할수 있습니다. 심심하면 저 공식 유도해보세요 ㅋㅋㅋ |
평면의 방정식 d - pyeongmyeon-ui bangjeongsig d
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