앙페르 법칙 유도 - angpeleu beobchig yudo

고등학교까지는 앙페르 법칙은 전류에 의해서 자기장이 생기며 그것은 오른손 법칙으로 표현될 수 있다고 배웠을 것이다.

그런데 일반물리학에서는 그것을 드디어 제대로 배우게 된다.

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만약 전류가 흐르는 도선 주위에 자기장이 발생한다고 할 때, 특정 지점에서의 자기장은 전류와 수직인 방향, 즉, 원의 방향으로 발생하며

아주 작은 원형 경로의 작은 길이 요소 ds에 대하여 B·ds는 서로 평행하므로 Bds가 되며 B의 크기는 임의의 원 위에서는 일정하며 전의 포스팅에서 그 값을 유도하여 식을 만들어봤으므로, 닫힌 경로에 대한 곱 Bds의 합은 B·ds의 선적분은 동등하며 아래와 같다.

그리고 이러한 식을 앙페르의 법칙이라고 한다.

이 앙페르 법칙은 가우스 법칙과 매우 유사하게 생겼는데 주로 '자기장의 크기'를 구할 때 많이 사용한다.

또한 가우스 법칙에서 폐곡면에서 내부의 전하량만 생각해줬던 것처럼 여기서도 내부의 전류만 생각해야한다는 점을 주의하자.

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방금 설명했듯 가우스 법칙과 매우 유사한데 가우스법칙에서는 전하가 전기장을 만드는데 전하는 움직이지 않아도 만들어지지만

앙페르법칙에서는 전류가 자기장을 만들기 때문에 전하의 움직임이 있을 때 만들어진다는 차이도 알아두자.

전 포스팅(22)에서 직선도선에 의한 자기장을 비오사바르 법칙을 이용하여 아래와 같이 유도했는데

(무한도선에 전류I가 흐르고 거리가 r만큼 떨어진 거리에서의 자기장의 크기)

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이번에는 앙페르 법칙을 이용해서 유도해보려고 한다.

우선 아래와 같이 반지름이 a인 도선에 I0만큼의 전류가 흐를 때, r만큼 떨어진 지점에서의 자기장을 구하려고 한다.

당연히 도선 내부냐 외부냐에 따라 달라질 것 같으니 r의 범위를 r>a, r<a으로 나눠서 구해보자.

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출처 : RICE/openstax, University Physics Volume2, 2016

이것을 통해 구해야 하는데, 외부의 임의의 위치에서 자기장은 일정하므로 상수가 되며

여기서 길이가 r만큼 떨어진 지점에서의 선적분은 원의 둘레이므로 2πr이 된다.

우선 내부의 임의의 위치 r에서도 자기장은 일정하므로 상수가 되고,

도선 내부의 위치 r에서는 r의 내부의 전류만 생각해야 하므로, 전체 전류가 I라면 그 내부의 비율은 a2:r2이다.

(부피는 a3:r3로 세제곱의 비율을 가지며, 부피의 비율은 제곱의 비율을 가진다. 이해가 안간다면 직접 구해도 된다.)

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이것은 전기장과 마찬가지로 내부에서는 r에 비례하며 자기장이 증가하며, 외부에서는 r2에 반비례하며 감소하게 된다.

출처 : RICE/openstax, University Physics Volume2, 2016

openstax 출처 : https://openstax.org/details/books/university-physics-volume-2

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