테일러 급수 활용 - teilleo geubsu hwal-yong

  해석학을 공부하면서 배우는 테일러급수. 처음에는 그냥 이런 것도 있구나 싶지만 다른 곳은 몰라도 적어도 해석학과 관련있는 미분방정식, 수치해석 그리고 이것들을 활용하는 여러 응용수학 분야에서 매우 유용하게 쓰인다. 오늘은 이 테일러 급수에 대해서 알아보고자 한다.

1. 테일러 급수란?

  일단 역사적으로 Brook Taylor라는 영국의 수학자의 업적이고 이 수학자는 그 유명한 Newton의 스승이다. 자세한 것은 >>위키피디아로<< 아래 그림은 위키피디아에서 가져왔다.

동기부여를 위해 독자에게 질문을 하나 하겠다.

질문. 어떤 두 함수가 정의역의 같은 점에서 함수값이 같고 한번 미분한 도함수 값도 같고 두번 미분한 이계도함수 값도 같고 이렇게 계속 같아서 임의의 자연수 n번 미분한 n계도함수 값까지 다 같으면 이 두 함수는 같은 함수일까?

좀더 간략하게 식으로 써보면,

$$\begin{align}
&\text{For two functions $f$ and $g$, let $x_{0}\in$ dom($f$)$\bigcap$dom($g$)}\\
&\text{If $f(x_{0})=g(x_{0})$ and $f^{(n)}(x_{0})=g^{(n)}(x_{0})$ for all $n>1$}\\
&\text{Then $f=g$ at least locally?}
\end{align}$$

여기서 f(x)는 우리에게 알려진 함수라고 가정하자. 그리고 저런 g(x)가 존재한다면 어떻게 생겼을까? 물론 답은 f(x)의 테일러급수겠지만 모른척 하고 생각해보자. 그렇다면 다음 식을 보자.

$$g(x)=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}}$$

해보면 알겠지만 다음이 성립한다.

$$f(x_{0})=g(x_{0}) \mbox{ and } \frac{d^{n}f}{dx^{n}}(x_{0})=\frac{d^{n}g}{dx^{n}}(x_{0})$$

음.. 그런데 보면 g(x)는 무한급수라서 조심해야할 것이 많다. 일단,

1. 무한급수기 때문에 수렴반경(Radius of Convergence) 내에서만 성립한다.

2. 정확한 값을 구하려면 무한번 계산을 해야한다.

헐..? 수렴반경 안에서만 다뤄야하고 뭔가 계산하려면 무한합을 계산해야하는데 이런걸 왜 쓰나? 싶겠지만..

2. 테일러 급수를 왜 사용하는가?

  일단, 우리가 아는 삼각함수, 지수, 로그함수, 유리, 무리함수, 다항함수 등을 초등함수(Elementary functions)라 하는데 실제로 계산할 때, 특히 삼각, 지수, 로그같은 초월함수(Transcendental functions)들의 함수값 계산은 인간의 머리로 불가능하다. 그래서 완벽한 값을 구하는 것은 실제 세계에서 불가능하고 근사값을 구해야하는데 이때 사용하는 것이 테일러급수다.

  예를 들어 지금 당장 계산기에서 자연대수 e를 쳐보자 그러면 2.714어쩌고가 나오는데 이 값을 구하려면 e^x의 테일러 급수를 구해서 적당히 많게 유한항 전개해서(예를 들면 100번째 항까지?) 나온 다항식(100차 다항식쯤 되겠네ㄷㄷ)에 x=1을 넣어서 구해야 한다. 사실 10개정도만 전개해도 괜찮은 근사값이 나온다.

  즉, 테일러 전개는 사람이 수치적으로 다루기 힘든 함수들의 다항식 근사라고 봐도 무방하다.

※ 항을 몇개까지 전개해야 실제값과 근사값의 오차가 원하는 만큼 줄어들까에 대한 답은 주로 수치해석시간에 배운다.

3. 언제 테일러 급수로 표현 가능한가?

  그렇다면 모든 함수가 항상 테일러 급수로 전개가능할까? 답은 'No'다. 일단 딱 봐도 알 수 있듯이 먼저 전개하고자 하는 함수 f(x)가 무한번 미분가능해야 테일러급수로 근사할 수 있겠다. 무한번 미분가능한 함수를 smooth function이라고 하는데 그럼 smooth function들은 모두 테일러 전개가 가능할까? 왠지 가능할 것 같다..고 필자가 1학년때 생각했는데 2학년 해석학 시간에 반례를 배웠다. 테일러 전개가 가능한 함수를 해석적 함수(Analytic function)이라 하는데 테일러급수가 수렴할 조건은 사실 워낙 당연한 말이라 처음에 짜증이 날 수도 있다.

물론 함수열(Sequence of Functions)이다보니 균등수렴(Uniform convergence)은 기본으로 생각하자. 위 식에서 마지막 줄에 나온 0으로 수렴한다는 항을 나머지항이라고 하는데 쉽게 말하면 나머지 항이 0으로 (균등하게) 수렴하면 테일러 급수 g(x)가 f(x)로 수렴한다는 뜻이다.

4. 테일러 전개가 불가능한 함수의 예

$$f(x)=\begin{cases}e^{-1/x^{2}} &x\neq0 \\ 0 & x=0\end{cases}$$

이 함수는 x = 0에서 함수값이 0이고 계산해보면 모든 도함수가 0에서 0이다. 그래서 이 함수의 테일러급수라고 추정하는 무한급수는 0 + 0 + 0 + 0 + ... 이건데.. 그냥 0함수다. 그런데 f(x)는 x가 0아닌 곳에서는 0이 아니므로 이 함수는 x = 0에서 무한번 미분가능하지만 테일러 전개가 불가능하다. 많은 해석학 교과서들이 위 함수를 가르치고 위 함수의 n차 도함수가 x = 0에서 항상 0임을 증명하는 문제를 연습문제로 많이 낸다. 이곳에 증명을 올리고 싶지만 증명이 짧지 않아 독자에게 숙제로 맡기겠다.

5. 테일러 급수가 전개 위치에 따라 다를 수 있다

  테일러 전개는 정의역 속 특정한 점 한곳에서 전개하는 것이다. 그래서 어느 점에서 전개하느냐에 따라 똑같은 함수를 테일러 전개했음에도 완전히 다른 급수를 얻을 수 있고 심지어 둘이 아예 아무 상관이 없을 수도 있다. 예를 들어,

$$y=f(x)=\frac{1}{x} \mbox{ for } x\neq0$$

이 함수를 생각해보자. 여기에서 다음과 같은 두 테일러급수를 생각해보자. 먼저 g(x)는 f(x)를 x = -2 에서 테일러전개한 것이고 h(x)는 x = 1에서 테일러전개한 것이다.

$$\begin{align}
&g(x)=\sum_{k=0}^{\infty}{-\frac{1}{2^{k+1}}(x+2)^{k}}\\
&\text{radius of convergence = $2$}\\
&h(x)=\sum_{k=0}^{\infty}{(-1)^{k}(x-1)^{k}}\\
&\text{radius of convergence = $1$}
\end{align}$$

일단 둘이 생긴 것부터 다르다.. 이렇게 생각해서 둘이 다르다고 결론 내리면 그건 바보다. 식의 형태는 달라도 얼마든지 같을 수 있기 때문이다. 예를 들면 y = e^x를 서로 다른 두 곳에서 테일러 전개하면 시작 위치는 달라도 항을 많이 더할수록 두 급수가 항등적으로 같아 진다. 그런데 위의 예는 그렇지 않다 아무리 항을 많이 더해서 근사해도 f(x)에서 나온 저 두 급수 g(x)와 h(x)는 절대 같아질 수 없다. 그래프를 그려보면

f(x)를 x = -2에서 n = 10까지 전개한 g(x) 의 그래프 

f(x)를 x = 1에서 n = 10까지 전개한 h(x)의 그래프

왜 이리 다를까? 짐작하겠지만 원래 함수 f(x)는 x = 0을 기준으로 singular하기 때문에 두 영역이 분리되어 있고 분리된 곳에서 전개하면 결코 같아질 수가 없다. 앞에서 테일러급수를 local이라는 말을 써서 표현했었는데 local이라는 말이 딱 들어맞는 경우를 방금 보았다. f(x) 그림을 보고 다시 이해해보자.