포트폴리오 분산 공식 - poteupollio bunsan gongsig

앞장에서 μ와 σ가 정해져있는 어떤 자산이 있으면

사람들은 개인 나름대로의 효용함수에 따라서

자신의 효용을 최대호 해주는 자산을 선택한다고 배웠습니다.

그럼 이번엔 '자산선택' 이었던 이전의 chapter에 이어서 "포트폴리오 선택"으로 한 차원 더 증가시켜 봅시다.

'포트폴리오'에 대해 간단하게 언급하고 나가면

우선 portfolio의 사전적 의미는 "투자기관이(투자자가) 소유한 유가증권 등 금융자산의 집합"입니당.

그럼 우리 세상은 다양한 자산들이 투자의 대상으로 활용되고 있습니다

토지, 건물, 부동산, 주식, 채권, 금, 그림, 등등등 

모든 것들이 투자의 대상이 될 수 있어요

즉, 포트폴리오란 이런 자산들이 총 결집된 자산의 group이란 거네용

근데,럼 왜 이렇게 다양한 자산에 닝겐들이 투자를 하는겁니까???

이런 말이 있죠

"계란을 한 바구니 안에 담지 말아라"

즉, 이렇게 다양한 자산에 투자하는 근본적인 이유는 바로 '분산투자'를 함으로써  risk를 줄여주기 위한 겁니다.

근데, 여기서는 잠시 위와 같은

큰 의미의 포트폴리오를 생각하지 말고

'다양한 주식'이 포함되어있는 (좁은 의미의) 포트폴리오를 생각해봅시다.

금융에서의 포트폴리오 이론을 논하기 위함입니다.

그러면

이런 두 종류의 포트폴리오가 우리 눈앞에 있으면

어떤 포트폴리오를 선택해야 하는가~~~~

지금 이런걸 논하겠다 이겁니다.

악!!! 근데, 의외로 간단하게 대답이 나와버려요

각각의 포트폴리오에 대해서 μ, σ를 계산해내어서

자신의 효용을 최대화시키는 μ, σ를 가진 포트폴리오를 선택할꺼라구....

간단하게 말할 수 있겠습니다.

아 그럼!

포트폴리오의 μ와 σ를 먼저 알아야 

어떤게 내 효용을 극대화 하는 것인가 알든 말든 하겠네용

이렇게 포트폴리오 이론이 시작됩니다

그럼 우선, 매우 심플하게

이런 심플한 포트폴리오를 가정하고

점점 차원을 올려나가는 방향으로 나가겠습니다.

아쓍!

앞에서 개별주식 에 대해서는 시나리오 분석을 통해 확률분포를 하나 상정해서

그것을 기반으로 개별 주식의 μ와 σ를 계산하는걸 배웠는데,

이렇게 싸잡힌 것(포트폴리오)에 대해선

어떻게 포트폴리오의 기대수익률과 포트폴리오의 risk를 측정하냐..

우선 개별 주식 에 대해서  와 를 도출해내는건 앞에서 다뤘으니깐

, , , 는 모~~~~두 다 계산이 되어있는 상태라고 하겠습니다.

먼저 포트폴리오의 기대수익률은

 이렇게 계산됩니다.

w_i는 포트폴리오를 구성하는 전체 투자자산 중, 주식_i에 투자된 투자비율입니다.

가령 1000만원을 주식_1, 주식_2에 골고루 투자했다고 했을 때, 

400은 주식_1에, 나머지 600은 주식_2에 투자됐다면

w_1 = 0.4(40%), w_2 = 0.6(60%)라는 소립니다. (그래서 w_1 + w_2 = 1 은 당연히 만족되는 것일거구)

그런 포트폴리오의 기대수익률을 나타내느 저 식은 뭔가 이치에 맞는것 같아요

각각의 기대수익률이 투자비율로 가중합 된다는 거니깐

그래서 일반화도 쉬울것 같습니다. 2개가 아니라 n개의 주식이 들어있는 포트폴리오라면

이렇게 된단 소리니깐,,,, 쉽네용

근데, 포트폴리오의 표준편차는 생각거리를 던져줍니다.

우선 식을 던져보겠습니다.

2개의 포트폴리오에 대해서, 포트폴리오의 분산은

이렇게 계산된다고 하는데,

(각각은 주식_1의 수익률 표준편차, 주식_2의 수익률 표준편차, 그리고 공분산입니다.)

아... 사실 더 근본적인 정의를 나타내는 식은

많이 당황스러우시죠......네....저도 그러네용....

하나하나 전부 설명할겁니당.

포트폴리오의 표준편차가 왜!!!! 저렇게 무지막지하게 생겨먹어야 한다는거....지?????????????

간단합니다

우선 Variance(분산)의 연산법칙을 알면 이해가 쉽습니다.

Var(x)와 Var(Y)를 알고 있을 때 

Var(X+Y)를 정리해보겠습니다

Variance의 의미는 편차들의 제곱의 평균이기 때문에

 일꺼란 말이에요??????????

그럼 Var(X+Y)는 같은 맥락으로 생각해봤을 때,

 일꺼란 말이에요????

근데, 우리는 더 일반적으로 X와 Y의 계수가 1이 아니라 각각 계수가 a,b라고 하겠씁니다

표기 : Example.

E(X) : X의 평균, 

E(X+Y) : X+Y의 평균,       

고등학교때 이런 표기를 썼었는데, 기억나시죵? 이 표기법으로 갈꼐요

빨강색은 편차 제곱들의 평균으로써 각각이 X의 분산, Y의 분산이 됨을 알 수 있고

파랑색은 위에서 "공분산의 정의"라고 언급됐습니다.

즉 위 식은 이렇게 결론 내릴 수 있씁니다.

자자자자 그래서 우리는 이제

라고 자신있게 말할 수 있게 됐습니다잉

즉 '포트폴리오의 분산'이란

'포트폴리오 기대수익률의 분산' 이기 때문에

그래서 이렇게 정의됐던 겁니다!!!!

자꾸 한글로 수익률 수익률 써서 쫌 이상한것 같아요

저는 수익률의 평균(기대수익률) μ랑 헷갈릴까봐, 한글로 걍 수익률이라고 적었는데

이제부터 '수익률'을 대체해 R로 적겠습니다.

μ는 R과는 엄연히 다른 '수익률의 평균(기대수익률)'이니깐 헷갈리면 안됩니당

R는 상황마다의 수익률이며

R_1 이라고 적으면 각 상황에서 주식_1에 의한 수익률!! 라고 하겠습니다.

자 그럼 포트폴리오에 주식이 3개가 있다고 해봅시다. 주식_1,2,3

헐랭발랭~

이제 n개일때도 대충 어느형태일지 감이 오네용

아~~~~~

이래서 포트폴리오의 분산은  의 형태와 관련이 있었던 겁니당

그럼 이제,

왜 이런 정의가 우리한테 던져졌었던 건지 이해가 가시졍 ㅎㅎㅎ

아직일 수도 있습니다.

제가 좀 비약한게 쫌 있네요...

그 비약 다 맺구고 끝내겠습니다.

 이 표기가 좀 마음에 걸리는데요. 쉽습니다. 사실 이 표기는

이거와 동일한 겁니다.

한 n=4 정도로 해서  를 한 번 자세하게 전개해볼테니 감잡으시면 될 것 같습니다.

원리를 보면 알겠지만, 

저는 그래서 걍 

→ (사실 이 생각은 '배열'이란 한 마디로 말할 수 있고, 배열을 array 즉 2차원의 경우엔 행렬을 연살할 수 있는겁니당.)

그리고 또 혹시 모르니 공분산에 대해서 간단하게 언급하고 넘어가겠습니다.

여기에서의 공분산은 두 주식 수익률이 어떤 상관성이 있느냐~~~~ 어떤 상관성 아래에서 움직이느냐~~를 말해주는 index입니다.

이 내용은 복붙을 해 오겠습니다.

-------------------------복붙주의----------------------------

이건데, 이 식을 쪼금만 뜯어서 해설해보자면​

​

​​

​

아 그럼 이 식의 의미도 쪼금은 와닿을것 같습니다

가중합이긴 가중 합인데,

​

평균으로부터 어떻게 떨어져있는지에 대한 경향성을 곱해서 가중합 때린겁니다.

즉 Cov 값을 안다는 것은

이렇게 볼 수 있네요​

​

"오 Cov값이 (+)양수란 말이지?! 그럼 대체적으로 stock과 bond의 수익률이 같은 방향이구나"​

"오 Cov값이 (-)음수란 말이지??!! 그럼 대체적으로 stock과 bond의 수익률이 반대방향으로 흐르는구나!!"

​​

그리고 Key point는 Cov값의 크기로서는 해석이 ....

약간 애매합니다​

​

뭐가 애매하냐면​

​

Cov값이 (-)음의 값으로 얼마나 커야, 두 수익률의 반대작용이 얼마나 큰 건지 그런거를 알수있게 해주지는 않는다는 겁니다​

​

그 Cov값이 크다는 건지 작다는 건지, 기준이 있어야 하겠죠

그래서 이거를 Normalize시키는 겁니다.

쟤네들의 표준편차로 노말라이즈를 시키는 건데,​

​

그 수치를 바로 상관계수라고 하는거고

이렇게 쓰면 됩니다.​

​

​

​이렇게 계산하면

저 값의 최대의 크기가 1이 되기 떄문에

이 부등식에 속하게 되거든여​

​

이렇게 써야 비로소

"오호라, 음의 관계로~ (혹은 양의 관계로) 많이~~~(혹은 조금~~~) 차이가 나는 거구나~~~"

이렇게 해석할 수 있게 되는 겁니다.

-------------------------------복붙끝------------------------

글고 또 한 가지 더 !

의 식이 n=2 였을땐,

 이 된다고 했는데....

그렇다면 이런 꼴을 한 번 보이는게 나을 것 같습니다.

정의에 입각을 해서 그대~~~~로 계산을 해보보겠습니다.

그래서

 이 식은

이렇게 정리해서 쓰기도 한답니다~~~~

마지막으로 위에서 언급하지 않은 '공분산 행렬'에 대해서 언급하고 마무리 짓도록 하겠습니다.

바로 위 식.... 정리하기 전의 위 식

이 식을 한 번 멍청이처럼 무식하게 전개해서 써보겠습니다.

이렇게 전개가 될텐데

제가 이 무식하게 전개된 이 식을요

Equal~~~~

(=) 딱 쓰고

행렬의 형태로다가

이렇게 쓰고 위에 저 엄청나게 나열된 수와 같다고 말해도 .....

이건 완전 레알인정 뺴박캔트 아니에요??????????

행렬을 한 번 전개해보면, 위에 저 엄청나게 나열된 저 숫자의 합 형태가 되잖아요...........

으으으으으으으

우리는 이  행렬을 '공분산행렬' 이라고 한답니당.

뭐 공분산과, 상관계수 정의의 형태를 이용해서 위 공분산 행렬을 '분산과 상관계수'의 형태로 나타낼 수도

당연히 가능하구요!!!!!!!

그니깐, 공분산과 상관계수 사이의 관계는 노말라이즈의 관계이기 때문에

 이와같은 관계에 있다구 했잖아용?

그래서

저 공분산행렬은 동등하게

 라고 쓸 수 있습니다.

아 근데 솔직히 

1과 2의 상관성을 측정할때랑 2와 1의 상관성을 측정하면

당연히 똑같아야 겠죠 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

즉, 

 이므로 위 공분산 행렬은 "대칭행렬"일 수밖에 없습니다.

(또, 분산값은 양수일 수 밖에 없기 때문에 positive definite일 수 밖에 없다는 것도 있습니다.)

근데, 저기 위에 σ_1 ~ σ_n 까지 모~~~두 1일 수가 있어요

언제 그럴 수 있냐구요?

수익률이 표준정규분포를 따른다고 가정을 하면 위 σ_1 ~ σ_n 는 모~~두 1일수 있습니다

이 내용은 http://gdpresent.blog.me/220889100669

에서 쓰이는데요.

그래서 저 포스팅에선 공분산행렬이

 이렇게 쓰여서 "Correlation Matrix(상관행렬?)"가 됐던 거랍니당

해야 할 이야기가 너무 많은데, 여기서 짜르고 가겠습니다.

다음 포스팅으로 바~~~로 이어서 갈꼐요.