점과 직선 사이의 거리 스칼라사영 - jeomgwa jigseon saiui geoli seukallasayeong

안녕하세요, 설군입니다.

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직선의 방정식을 알 때 점과 직선 사이의 거리 공식을 중학교때인가 배웠을 것입니다.

벡터를 이용해서 그 공식을 유도해보면 참 재밌습니다.

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이와같이 직선의 방정식이 ax+by=c이고, 직선 위의 한 점 A(P1, P2)를 알고

그리고 직선 밖의 한 점 B(x0, y0)를 알고있을때

​

B와 직선 사이의 거리를 구하는 것입니다.

이때 B와 직선 사이의 거리는, B에서부터 직선으로 수선을 내린것의 길이를 말합니다.

즉 그림상에서의 d를 찾을것입니다.

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다음과 같이 생각해봅시다.

직선의 방정식이 ax+by=c 형태일 때, 직선에 수직인 방향벡터 n의 벡터는 (a, b)벡터입니다.

즉 x, y의 계수 각각이 방향벡터의 x, y성분입니다.

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그리고 v벡터를 생각해볼 것입니다. v벡터는 A부터 B까지를 향하는 벡터입니다.

AB벡터는 OB-OA이므로 도착점의 성분에서 시작점의 성분을 빼주면 벡터를 구할 수 있겠죠.

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!! 상기합시다. 우리는 지금 점과 직선사이의 거리를 구할것입니다.

그런데 사영벡터를 이용할것입니다.

잘 생각해보면 v라는 벡터를 n에 사영시키고

그 사영벡터의 길이가 바로 거리라는것을 알 수 있습니다!

수식으로 표현하면 위와 같습니다.

proj n (v) 라는것은

n이라는 벡터 위로 v라는 벡터를 사영시켰다는 뜻입니다.

옆에 작대기 || proj n (v) || 는 벡터의 크기라는 뜻입니다.

마치 절댓값 기호같은 의미이죠.

v벡터와 n벡터만 알면 proj를 구할 수 있습니다.

n벡터는 이미 주어졌고요, 그럼 앞서 말한 대로 AB벡터 즉 v벡터를 찾아보면

위와같이 찾을 수 있습니다.

​

이제 사영 벡터를 구하는 공식에 대입만 하면 됩니다.

이와같이 대입해주면 됩니다.

마지막 결과에서 (a, b)는 벡터를 나타낸 것입니다.

​

이것의 크기가 바로 우리가 구하고자 하는 점과 직선 사이의 거리입니다.

이렇게 구하면 됩니다.

x0, y0가 들어있지 않은 항을 상수 c로 처리한다면 우리가 알고있는 점과 직선사이의 거리 공식이 나옵니다.

​

똑같은 방법으로 점과 평면 사이의 거리 공식도 유도할 수 있습니다.

평면에서의 수직인 방향벡터를 찾고, AB벡터를 찾고 하면 되는거죠.

mathpeak 매쓰피크

고등/고1

점과 직선 사이의 거리 구하는 공식 증명

피크쌤 2020. 6. 14. 10:45    

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한 점에서 직선까지의 거리 구하는 공식

여러 가지 증명

(증명 1)

(증명 2)

(증명 3)

(증명 4)

(증명 5)

- 코시 부등식을 이용한 증명

(증명 6)

- 벡터를 이용한 증명

점과직선사이의거리_mathpeak.pdf

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