답이 15인 수학문제 - dab-i 15in suhagmunje

흔히 어디선가 한번은 봤을 문제다.

또는 이런것도 있다.

뭐, 숫자만 다를뿐 같은 문제다. 괄호에 붙은 숫자를 먼저 고려할것인지

아니면 사칙연산 순서대로 할것인지를 묻는거니까. 

아래 문제의 경우 괄호에 붙은 4(5-1) 을 먼저 계산하면 16이 되어 0.5가 나오고

사칙연산 순서대로만 한다면 8이 나온다.

이런 불명확성 때문에 정답에 대해서는 의견이 많이 나뉜다. 

어느것이 맞는가.

결국 아래중 어느것이 맞냐를 묻는 문제인데...

이 문제들은 외국에서도 이미 오래전부터 유명해서,

문제 자체에 오류가 있어 성립안된다는 주장도 있다.

사실 개인적으로는 문제 오류가 맞다고 생각한다. 애당초 명확성을 주지 못했으니까.

나는 수학전공도 아니고, 수학엔 깡통이라 감히 뭐라 할 위치는 아니지만,

수학은 완벽성을 추구하는 학문이라 생각한다. 

물론 수학은 완벽하지 못하다는 것이 괴델에 의해 증명되었다 해도

일반적인 계산에까지 해당되는 내용은 아니다.

어쨌든,

이런것도 증명 방법이 있을까.. 생각하다가

생각난 것이 있어 공리를 끌고 오기로 했다.

공리가 무엇인지 검색해 보면 이런것이 나온다.

  공리(公理, 영어: axiom)는 논리학이나 수학 등의 이론체계에서 가장 기초적인 근거가 되는 명제(命題)이다. 증명할 필요가 없이 자명한 진리이자 다른 명제들을 증명하는 데 전제가 되는 원리로서 가장 기본적인 가정을 가리킨다.

위 내용처럼 공리는 증명이 필요없다. 진리니까. 
진리에 뭐가 어쩌고 토다는게 아니다. 닥치고 걍 본래 그런거다. 
그래서 수학을 지탱하는 가장 중요한 기준이 된다.  
그리고 그 공리중 하나에 이런게 있다.

임의의 수 a, b, c 는 다음 관계를 만족한다. 

a(b+c) = ab + ac

바로 우리가 '배분법칙' 이라고 부르는걸로, 중학교 수학에서 나오지 않았을까 싶다.

숫자를 단순히 a, b, c의 기호로 치환한 것이기 때문에 증명에 아무런 문제가 없다. 

위 문제에서 공리인 배분법칙을 적용하면  a(b+c) = ab + ac 이므로, 4(5-1) = 4x5-4x1 이 성립해야만 한다.

이는 공리니까 진리다. 

그리고 4x5-4x1 의 값은 누가봐도 16 이다. 

답은 0.5 가 된다. 

만약 4(5-1)을 먼저 계산하지 않고, 8÷4를 먼저 계산한다면,

a(b+c) = ab + ac 라는 공리를 무시해야한다. 

그러므로 답이 0.5가 아니라고 하려면 아주 간단하다. 

위 공리를 사용한 증명이 틀렸다는것을 증명하면 된다.   

그러면 글 지워야지.. ㅠㅠ

...by 개날연..

몸살앓다가 27시간 만에 겨우 일어남.. ㅠㅠ 

글 : 개날라리연구원
그림 : 개날라리연구원
업로드 : 개날라리연구원
발행한곳 : 개날라리연구소

........ - _-y~ 

“8÷2(2+2)는?”

미국 뉴욕타임스(NYT)는 최근 자사 트위터 계정에 이 수식과 함께 “간단한 계산식 하나가 올해 디지털 분열의 원천이 됐다”고 적었다. 실제로 NYT가 트윗을 올리자마자 그 아래에는 줄줄이 “답은 무조건 1이다” “무슨 소리냐 16이다”라며 트위터 이용자들의 갑론을박이 이어졌다. 초등학교에서 배울 법한 간단한 계산식을 두고 왜 이렇게 답이 갈리는 것일까. 그 이유는 ‘계산 순서’에 있다.

이 수식을 풀려면 먼저 괄호 속 ‘2+2’를 풀어야 한다. 2+2=4이므로 식은 ‘8÷2×4’로 정리된다. 문제는 그 다음이다. 앞의 나눗셈을 먼저 할지, 괄호 앞에 ‘생략된’ 곱셈을 먼저 할지를 선택해야 하는 것이다. 나눗셈을 먼저 하면 4×4로 답이 ‘16’이지만, 곱셈을 먼저 하면 8÷8로 ‘1’이 된다. 결론부터 말하면, NYT가 트윗에 첨부한 한 수학자의 기고문에 따르면 정답은 ‘16’이다.

스티븐 스트로가츠 미국 코넬대 응용수학과 교수는 지난 8월 ‘인터넷을 당황하게 한 수학 방정식’이라는 제목의 NYT 기고문에서 해당 수식을 해설했다. 그는 “표준 규약은 곱셈과 나눗셈에 같은 우선순위를 두기 때문에, 식을 풀 때는 왼쪽에서 오른쪽으로 푸는 게 맞다. 따라서 나눗셈을 먼저 하고, 그 뒤에 곱셈을 하면 정답은 16이다”라고 설명했다. 스트로가츠 교수는 이어 ‘전통적인 계산 순서’에 대한 설명을 덧붙였다.

일명 ‘PEMDAS’라고 알려진 연산 순서에 따르면 괄호(Parenthesis) 안의 수식에서 시작해 지수(Exponents), 곱하기(Multiply), 나누기(Divide), 더하기(Add), 빼기(Subtract) 순으로 계산하는 것이 상식이다. 다만 곱하기와 나누기는 서로 ‘동일한 우선순위’(equal priority)를 갖는데, 이때 “왼쪽에서 오른쪽으로 작업함으로써 (계산의) 모호한 점이 ‘제거’된다”는 것이 교수의 설명이다. 덧셈ㆍ뺄셈에도 같은 원칙이 적용된다.

다만 상당수의 사람들이 ‘8÷2(2+2)’의 답을 ‘1’로 계산하는 것은 ‘괄호의 함정’ 때문으로 보인다. 해당 식을 8이 분자이고, ‘2(2+2)’를 분모로 하는 ‘x÷yz’ 구조의 식으로 착각하기 때문이다. yz를 먼저 계산해 ‘8÷8=1’이라는 답이 나온다는 주장이다. 그러나 실제로 이 같은 계산 순서를 따르려면, 중괄호가 더해진 8÷{2(2+2)} 형태의 수식이어야 한다.

이와 관련, 스트로가츠 교수는 “수학자로서의 경험에 비춰볼 때 ‘8÷2(2+2)’ 같은 식은 터무니없이 억지로 꾸며낸 것”이라며 “어떤 전문 수학자도 이렇게 명백하게 모호한 수식은 쓰지 않을 것”이라고 말했다. 그는 이어 “트위터에서 처음 논쟁이 벌어졌을 때, 나는 사람들이 고등학교 교과과정 속 궤변에 그처럼 오랜 시간을 쏟고 있다는 사실에 분개했다”면서 “그러나 이내 규칙들은 중요하며, 우리의 삶이 그에 기반하고 있다는 사실을 인지하게 됐다”고 썼다.

교수는 근본적으로는 이 같은 논란은 ‘주입식 교육’의 병폐라고 지적했다. 스트로가츠 교수는 “내 딸들도 마치 기계처럼 몇 년에 걸쳐 주입식 암기 교육을 받았다”라며 “그러니 많은 학생들이 수학을 비인간적이고 무의미한 임의의 규칙과 순서의 집합체로 보는 것도 당연하다”고 비판했다. 그는 “정확한 수학 표현을 쓰도록 가르치면 이 모든 논쟁은 사라질 것”이라며 “우리는 학생들에게 수학의 아름답고 흥미로우며, 고무적인 면을 가르치는 데 더 많은 시간을 할애해야 한다”고 강조했다.

최나실 기자

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