원기둥 밑면의 넓이 - wongidung mitmyeon-ui neolb-i

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밑면인 원의 반지름이 \(r\)이고 높이가 \(h\)인 원기둥에 대하여\(~~~~~~~~\)(원기둥의 겉넓이)\(=2 \pi r^2 +2 \pi rh\)

원기둥의 전개도는 다음 그림과 같이 합동인 두 개의 밑면과 직사각형 모양의 옆면으로 이루어져 있다. 그러므로 원기둥의 겉넓이는 두 밑면의 넓이와 옆면의 넓이의 합으로 구할 수 있다.

따라서 밑면인 원의 반지름이 \(r\)이고 높이가 \(h\)인 원기둥의 겉넓이는 다음과 같이 구한다.

\(\begin{aligned} (원기둥의  겉넓이) & =(밑넓이)×2+(옆넓이) \\ & =2 \pi r^2 +2 \pi rh \end{aligned} \)

• 관련교과서 : 금성 245쪽, 비상 256쪽, 두산(강) 292쪽, 천재(이) 328쪽, 미래엔 225쪽

확인문제

다음 그림과 같은 원기둥의 겉넓이를 구하여라.

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관련용어

• 원기둥 circular cylinder / cylinder
• 원기둥의 부피

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도형의 표면 면적을 모두 더하면 겉넓이를 구할 수 있다. 원기둥의 면적을 구하려면 밑면과 윗면의 면적을 구한 후, 측면의 넓이를 측정해서 더해주면 된다. 원기둥의 겉넓이를 구하는 공식은 A = 2πr2 + 2πrh이다.

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   원기둥의 밑면과 윗면을 시각화하기. 스프 캔과 같은 원기둥을 떠올려보면 밑면과 윗면의 모양이 같은 원 모양을 하고 있는 것을 확인할 수 있다. 원기둥의 넓이를 구하기 위해 가장 먼저 밑면과 윗면의 넓이를 구해보자.[1]

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   원기둥의 반지름 알아보기. 반지름은 원의 중심으로부터 원의 가장자리까지의 길이로, “r”이라고 표기한다. 원기둥의 밑면과 윗면의 반지름의 길이는 모두 같다. 예를 들어, 밑면의 반지름이 3 cm라고 가정해보자.[2]

   • 문제에 따라 반지름의 길이가 주어지기도 한다. 원의 한쪽 끝에서 원의 중심을 통해 다른 한쪽 까지의 길이를 나타내는 지름의 값이 주어졌다면, 지름을 정확히 반으로 나눠서 반지름의 길이를 구해보자.
   • 실제 원기둥의 겉넓이를 구해야 한다면, 자를 사용해서 반지름을 측정해보자.

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   윗면의 넓이 구하기. 윗면 원의 넓이는 반지름 제곱값 x파이 (~3.14)이므로, 공식으로 나타내면 π x r2 혹은 π x r x r로 표기할 수 있다.

   • 밑면의 넓이를 구하려면 반지름 값인 3 cm를 공식에 대입해보자: A = πr2. 다음과 같은 계산 단계를 거치면 된다:[3]
   • A = πr2
   • A = π x 32
   • A = π x 9 = 28.26 cm2

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   반대 쪽 원에도 이 방법을 반복하기. 한 쪽 원의 넓이를 구했으니 다른 쪽 면에도 동일한 방법으로 넓이를 구해도 되지만, 밑면과 윗면의 넓이가 같다는 사실을 이해했다면, 동일한 공식으로 두 번 넓이를 구하지 않아도 된다.[4]

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   원기둥 측면을 시각화해보기. 원기둥의 스프 캔을 떠올려보면, 밑면과 윗면이 캔의 “벽”과 연결되어 있는 것을 확인할 수 있다. 이 벽의 반지름도 밑면과 윗면의 수치와 같지만, 이 벽에는 높이가 존재한다.[5]

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   밑면 혹은 윗면 중 하나의 원의 둘레 구하기. 측면 면적을 구하기 위해 원의 둘레를 먼저 구해야 한다. 반지름에 2π를 곱해서 원의 둘레를 구해준다. 반지름의 값인 3 cm에 2π를 곱하면 3 cm x 2π = 18.84 cm의 값을 얻을 수 있다.[6]

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   원기둥의 높이를 원의 둘레와 곱하기. 이렇게 하면 측면의 넓이를 구할 수 있다. 원의 둘레인 18.84 cm에 원기둥 높이인 5 cm를 곱하면 18.84 cm x 5 cm = 94.2 cm2의 값을 얻을 수 있다.[7]

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   원기둥 전체를 시각화하기. 먼저 원기둥의 밑면과 윗면을 떠올린 후 각각의 면적을 구했다.그리고 이 면적과 마주하고 있는 벽의 넓이도 측정을 완료했다. 이번에는 원기둥 전체를 떠올려보고 원기둥의 넓이를 구해보자.[8]

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   밑면 넓이에 2를 곱하기. 앞서 구한 밑면 넓이 28.26 cm2에 2를 곱해서 밑면과 윗면의 합한 면적을 구해보자: 28.26 x 2 = 56.52 cm2[9]

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   측면의 넓이도 더해주기. 밑면과 윗면의 면적을 더한 후 측면의 넓이를 구하면 원기둥의 겉넓이를 구할 수 있다. 앞서 구한 측면 값 94.2 cm2에 밑면과 윗면의 합한 넓이인 56.52 cm2를 더해주기만 하면 된다. 56.52 cm2 + 94.2 cm2 = 150.72 cm2. 높이가 5 cm이고, 반지름이 3 cm인 원기둥의 겉넓이는 150.72 cm2이다.[10]

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팁

• 원기둥의 높이나 반지름에 제곱근 기호가 있다면 제곱근을 곱하는 방법과 제곱근을 더하고 빼는 방법을 참고해보자.

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경고

• 밑면의 넓이를 구한 후 항상 2를 곱해주는 것을 잊지 않는다.

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