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[[[정의:분산과 표준편차]]] 이산확률변수 X 의 확률질량함수가 이고 E(X)=m 이라 할 때, X 의 분산과 표준편차는 다음과 같다. (1) 분산 : 확률변수 X 의 분산이란 편차 제곱의 평균이며, V(X) 로 나타낸다. (2) 표준편차 : 확률변수 X 의 표준편차란, 분산의 양의 제곱근 이며 로 나타낸다. [[[해설:친절한 해설]]] (1) 편차는 으로 계산하며 편차의 총합은 반드시 0이다. (2)
편차는 개별적인 정보를 나타내는데 비해, 분산, 표준편차는 집단에 대한 정보를 나타낸다. (3) 분산에 들어간 제곱의 효과를 상쇄시키기 위해서 제곱근을 취한 것이 표준편차이다. (4) 분산의 변형이산확률변수의 분산과 표준편차
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확률질량함수
이산확률변수 $ X $의 각 값 $ x_i $와 $ X $가 $ x_i $를 취할 확률 $ p_i $의 대응 관계를 이산확률변수 $ X $의 확률분포라 하고, 그 관계식
\begin{gather*}
P(X=x_i) = p_i \ (i=1, \ 2, \ 3, \ \cdots, \ n)
\end{gather*}
를 이산확률변수 $ X $의 확률질량함수라 한다.
이산확률변수 $ X $의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
한 개의 동전을 두 번 던지는 시행에서 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 $ X $라 할 때, 확률변수 $ X $의 확률분포를 표로 나타내어라.
확률변수 $ X $가 가질 수 있는 값은 $ 0 $, $ 1 $, $ 2 $이다.
확률질량함수의 성질
이산확률변수 $ X $의 확률질량함수
\begin{gather*}
P(X = x_i) = p_i \ (i = 1, \ 2, \ 3, \ \cdots, \ n)
\end{gather*}
는 다음과 같은 성질을 가진다.
- $ \displaystyle 0 \leq p_i \leq 1 $
- $ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} p_i = 1 $
- $ \displaystyle P(x_i \leq X \leq x_j) = \sum_{k=i}^{j} p_k \ \ (i, \ j = 1, \ 2, \ \cdots, \ n, \ \ i \leq j ) $
이산확률변수의 평균, 분산, 표준편차
이산확률변수 $ X $의 확률질량함수
\begin{gather*}
P(X = x_i) = p_i \ (i = 1, \ 2, \ 3, \ \cdots, \ n)
\end{gather*}
의 평균 $ {E(X)} $, 분산 $ {V(X)} $, 표준편차 $ \sigma(X) $은 다음과 같다.
- $ \displaystyle {E(X)} = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i $
- $ \displaystyle {V(X)} = \sum_{i=1}^{n} (x_i - m)^2 p_i $
- $ \sigma(X) = \sqrt{V(X)} $
- $ {E(X)} = m $, $ {V(X)} = \sigma^2 $, $ \sigma(X) = \sigma $로 나타내기도 한다.
- 분산은 다음과 같이 구할 수도 있다.
\begin{align*}
V(X) &= \sum_{i=1}^{n} ({x_i}^2 - 2mx_i + m^2) p_i \\
&= \sum_{i=1}^{n} {x_i}^2 p_i - 2m \sum_{i=1}^{n} x_i pi + m^2 \sum_{i=1}^{n} p_i \\
&= \sum_{i=1}^{n} {x_i}^2 p_i - 2m^2 + m^2 \\
&= E(X^2) - E(X)^2
\end{align*}
확률변수 $ X $의 확률분포가 다음 표와 같을 때, 평균과 분산을 구하여라.
$ \displaystyle E(X) = 2 \times \frac{1}{4} + 3 \times \frac{1}{2} + 4 \times \frac{1}{4} = 3 $
$ \displaystyle V(X) = 2^2 \times \frac{1}{4} + 3^2 \times \frac{1}{2} + 4^2 \times \frac{1}{4} - 3^2 = \frac{1}{2} $
평균, 분산, 표준편차의 성질
확률변수 $ X $와 상수 $ a $, $ b $에 대하여 다음이 성립한다.
- $ {E}(a{X}+b) = a {E(X)} + b $
- $ {V}(a{X}+b) = a^2 {V(X)} $
- $ \sigma(a{X}+b) = |a| \sigma({X}) $
확률변수 $ X $에 대하여 $ E(X) = 10 $, $ V(X) = 9 $이다.
\begin{gather*}
Y = 3X + 9
\end{gather*}
일 때, $ E(Y) $와 $ V(Y) $를 구하여라.
$ E(Y) = E(3X+9) = 3 E(X) + 9 = 3 \times 10 + 9 = 39 $
$ V(Y) = V(3X+9) = 3^2 V(X) = 3^2 \times 9 = 81 $