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함수의 대칭 표현(y축에 대칭, 원점에 대칭)
f(x)=f(-x)의 표현은 아래 그림1과 같이 y축에 대칭인 함수를 의미한다.
[그림1]
f(x)=f(-x)는 함수 f(x)에 임의의 x를 대입한 함숫값과 -x를 대입한 함숫값이 동일하다는 수식의 표현으로서 원점으로부터 x까지의 거리와 원점으로부터 -x까지의 거리가 같으므로 y축에 대칭이 될 수밖에 없음을 그림에서 확인할 수 있다.
여기에서 f(x)=f(-x)의 의미를 점 P가 점 P'로 y축에 대칭이동된 것으로 보아도 될 것이다.
그러면 x축에 대칭인 함수도 있을까요?
당연히 존재할 수 없겠죠.
하나의 도형에서 x축에 대칭인 경우는 포물선, 원, 타원, 쌍곡선 등에서 볼 수 있으며, 음함수라고 불린다. (이름만 음함수이지 이 자체로는 함수가 될 수 없다)
[그림2]
그림2의 (나)에서 보듯이 y≥0과 y≤0으로 분리시키면 함수가 되는데, P(x,f(x))와 P'(x,-f(x))는 x축에 대칭이다.
이 경우도 f(x)=f(-x)처럼 등식으로 표현할 수 있을까요?
f(x)=-f(x)와 같은 표현은 입니다.
이 식은 1=-1 (f(x)≠0)과 같은 표현인데, 등식이 될 수가 없겠죠.
다만 서로 다른 함수에서 각각의 함숫값이 f(x)와 -f(x)라면 이 두 함수는 x축에 대칭이라는 사실만을 알 수 있을 뿐이다.
여기에서 f(x)와 -f(x)의 관계는 점 P가 점 P'로 x축에 대칭이동된 것으로 보아도 될 것이다.
최고차항의 차수가 홀수인 다항함수는 원점에 대칭인 그래프를 가질 수 있다.
아래 그림3과 같은 3차함수의 경우를 살펴보면, 변곡점이 원점에 위치하면 원점에 대칭인 함수이다.
[그림3]
점 P를 x축에 대하여 대칭이동시키면 f(x)는 -f(x)가 되고, 다시 y축에 대하여 대칭이동시키면 -f(-x)가 되는데, 이 곡선은 함수이기 때문에 함숫값을 이용해서 등식으로 표현이 가능해진다. (점 P를 y축에 대칭시키면 f(x)는 f(-x)가 되고, x축에 대칭이동시키면 -f(-x)가 된다)
그림에서 보듯이 f(-x)=-f(x) (또는 f(x)=-f(-x)로서 동일)가 성립됨을 확인할 수 있다.
고2 가
점대칭이 되기 위해서는 두 다항함수 f(x), g(x) 모두 최고차항이 홀수차임을 첫 번째 조건에서 알 수 있다.
두 번째 조건은 두 다항함수 중 최고차항의 차수가 큰 것(f(x)의 최고차수)을 작은 것(g(x)의 최고차수)으로 나눈 값이 3이라는 것으로서
두 다항함수의 최고차항의 차수는
f(x) 3 5 7 ....
g(x) 1 3 5 .....
이므로
함수 f(x)는 3차함수, 함수 g(x)는 일차함수임을 알 수 있다.
여기에서 두 함수는 최고차항의 계수가 1이고, 원점에 점대칭이어야 하므로
이어야 한다.
세 번째 조건에서
이므로
f(2)+g(3)=9
정답 2번
[함수개념] 그래프의 대칭이동 / 평행이동 2 (알고리즘 성남학원)
평행이동이 궁금하다면 클릭 ↓
//algosn.blog.me/221392346871
안녕하세요~
알고리즘 성남학원
가장 쉬운 수학
‘진카’ 입니다.
오늘은 지난시간의 평행이동에 이어서
대칭이동에 대하여 설명 하도록
하겠습니다.
어렵지 않으니 차분히만 따라오세요!
대칭이동이란 f(x)라는 함수가 있을 때,
어떤 선을 기준으로 하여 데칼코마니 시키는 것을
대칭이동이라고 합니다.
예를 들어,
f(x)가 검은색이고 어떤 선이 초록색 일 때,
f(x)를 초록색 선을 기준으로 대칭 이동 시키면~
이렇게!! 빨간색 그래프가 됩니다.
이런 것을 대칭이동이라고 해요. 쉽죠? ^^
1) x축 대칭
말 그대로~
x축을 기준으로 하여 데칼코마니 시키면
우리는 "x축 대칭을 했다~" 라고 합니다.
이렇게! 검은색 f(x)를
x축 대칭 시키면
x축을 기준으로 데칼코마니 시켜서
저 빨간색 그래프가 됩니다!
# 그리고 f(x)라는 함수를 x축 대칭시켰을 때
대칭이동 시킨 함수를 보면
보다시피 (1, -1)이 => (1, 1)이 됩니다. (하늘색)
결국 (a, f(a))는 => (a, - f(a))가 되어 버리는 걸 알 수 있네요!
x축 대칭이동 시키면 모든 y값에 마이너스가 붙는 겁니다!
즉!! y = f(x)를 x축에 대하여 대칭이동 시키면
y = f(x) 가 y = - f(x)가 되어버립니다!
즉!! f(x)를 x축 대칭이동 시킨 함수는 - f(x)가 되는군요!!
절대 잊지 마세요~
x축 대칭이동 시키면 함수 전체
즉, y에 마이너스가 붙는다!
2) y축 대칭
말 그대로~
y축을 기준으로 하여 데칼코마니 시키면
우리는 "y축 대칭을 했다~" 라고 합니다.
이렇게! 검은색 f(x)를
y축 대칭 시키면
y축을 기준으로 데칼코마니 시켜서
저 빨간색 그래프가 됩니다!
# 그리고 f(x)라는 함수를 y축 대칭시켰을 때
대칭이동 시킨 함수를 보면
보다시피 (1, -1)이 => (-1, -1)이 됩니다. (하늘색)
결국 (a, f(a))는 => ( -a, f(a))가 되어 버리는 걸 알 수 있네요!
y축 대칭이동 시키면 모든 x값에 마이너스가 붙는 겁니다!
즉!! y = f(x)를 y축에 대하여 대칭이동 시키면
y = f(x) 가 y = f(-x)가 되어버립니다!
즉!! f(x)를 y축 대칭이동 시킨 함수는 f(-x)가 되는군요!!
절대 잊지 마세요~
y축 대칭이동 시키면
즉, x에 마이너스가 붙는다!
3) 원점 대칭
원점 대칭은 많이들 헷갈려 하는데요~
이렇게 기억하세요!
원점 대칭은,
x축 대칭과 y축 대칭을 둘 다 한 겁니다!
x, y축을 기준으로 하여 두 번 데칼코마니 시키면
우리는 "원점 대칭을 했다~" 라고 합니다.
이렇게! 검은색 f(x)를
원점 대칭 시키면
x축 기준으로 한 번 접고~
y축 기준으로 한 번 더 접어서~
저 빨간색 그래프가 됩니다!
# 그리고 f(x)라는 함수를 원점 대칭시켰을 때
대칭이동 시킨 함수를 보면
보다시피 (1, -1)이 => (-1, 1)이 됩니다. (하늘색)
결국 (a, f(a))는 => ( -a, -f(a))가 되어 버리는 걸 알 수 있네요!
원점 대칭 시키면 x와 y모두에 마이너스가 붙는 겁니다!
즉!! y = f(x)를 원점 대칭 시키면
y = f(x) 가 y = -f(-x)가 되어버립니다!
즉!! f(x)를 원점 대칭 시킨 함수는 -f(-x)가 되는군요!!
절대 잊지 마세요~
원점 대칭시키면
즉, x와 y모두에 마이너스가 붙는다!
4) y=x 대칭 (역함수)
y=x 대칭은,
말 그대로 y=x를 기준으로 대칭 한 겁니다!
y=x를 기준으로 데칼코마니 시키면,
우리는 "y=x 대칭을 했다" 라고 합니다.
이렇게! 검은색 f(x)를
y=x 대칭 시키면!
저 빨간색 그래프가 됩니다!
# 그리고 f(x)라는 함수를 y=x대칭시켰을 때,
대칭이동 시킨 함수를 보면
보다시피 점(a, b)가 => 점(b, a)가 되어 버립니다.
결국 (a, f(a))는 => ( f(a), a)가 되어 버리는 걸 알 수 있네요!
원점 대칭 시키면 x와 y가 바뀌어 버리는 겁니다!
절대 잊지 마세요~
y=x 대칭시키면
x랑 y를 바꾸고 정리하면 된다!
그리고 y=x 대칭시킨 함수를
원래 함수의 역함수라고 한다!
3. f(x)=f(-x)를 만족시킨다면, f(x)는 y축 대칭 함수.
문제를 풀다보면,
조건으로 f(x)=f(-x)를 만족시킨다.
라는 말이 나 올 때가 있습니다.
무슨 말일까요?
예를 들자면,
x=1을 넣으나 x=-1을 넣으나
똑같다는 거고~
x=2를 넣으나 x=-2를 넣으나
똑같다는 거네요.
즉, x=a를 넣으나 x=-a를 넣으나
똑같다는 것은!
y축 대칭 모양의 함수이다! 라는 것을
의미하는 것입니다.
잊지 마세요!
문제를 풀다가
‘f(x) = f(-x)를 만족시킨다.‘
라는 말이 나오면!
아~ f(x)는 y축 대칭 모양이구나~
라고 이해 하면 됩니다!
4. f(x)= -f(-x)를 만족시킨다면 f(x)는 원점대칭 함수.
문제를 풀다보면,
조건으로 f(x) = -f(-x)를 만족시킨다.
라는 말이 나 올 때가 있습니다.
무슨 말일까요?
원래 함수는 f(x) 이고~
원래 함수에서 x에 마이너스 붙이고
f(x) 전체 즉, y에 마이너스 붙이면
원래함수랑 같다는 거네요!
x에 마이너스 붙이면 y축 대칭이고,
y에 마이너스 붙이면 x축 대칭이라고 했죠?
그러므로, x,y축 대칭을 둘 다 했으니
-f(-x)는 원점 대칭 함수를 의미합니다.
∴ f(x) = -f(-x)를 만족시킨다. 라는 말은
f(x)가 원점 대칭 모양이다.
즉, f(x)는 원점 대칭 함수이다.
라는 것을 의미하는 것입니다.
잊지 마세요!
문제를 풀다가
‘f(x) = -f(-x)를 만족시킨다.‘
라는 말이 나오면!
아~ f(x)는 원점 대칭 모양이구나~
라고 이해하면 됩니다!
지난시간에 이어
함수에서 너무나도 중요한 개념인
평행이동과 대칭이동에 대해서
설명을 해보았습니다.
대칭이동은 조~금 복잡하니까
다시 한 번 읽어보시고
꼭 완벽히 이해하세요! ^^
수고 많으셨습니다.
- x축 대칭이란, x축을 기준으로 데칼코마니 시키는 것
- y축 대칭이란, y축을 기준으로 데칼코마니 시키는 것
- 원점 대칭이란, x와 y축을 기준으로 데칼코마니 시키는 것
- y=x 대칭이란, y=x를 기준으로 데칼코마니 시키는 것
- x축 대칭시키면 f(x) => -f(x)가 되어 버린다
- y축 대칭시키면 f(x) => f(-x)가 되어 버린다
- 원점 대칭시키면 f(x) => -f(-x)가 되어 버린다
- y=x 대칭시키면 x와 y가 바뀌어 버린다
- 그러므로 원래함수 f(x)가 y축 대칭시킨 f(-x)와 같아 버리면
f(x)가 y축 대칭모양의 함수라는 것을 의미
- 원래함수 f(x)가 원점 대칭시킨 -f(-x)와 같아 버리면
f(x)가 원점 대칭모양의 함수라는 것을 의미
수학, 누구나 잘 할 수 있습니다.
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