���忡���� �����̳� ������ ���ؼ� ����� �ڷ� ���� ������ ��Ÿ���� ��� ���� �̻�Ȯ�������� �����Ͽ���. �̹� �忡���� ������ �ڷ���� ������ ���� ���� �ȿ��� ������ ���� ��ȭ�ϴ� ����Ȯ�������� ���� Ȯ�������� �ٷ���� �Ѵ�.
Ȯ���е��Լ� (probability density function) �� ������ �ڷ������� ������ �����Ǿ� �ִ� ������ Ȯ���� ǥ���� ���̴�. Ȯ���е��Լ��� ��Ȯ�ϰ� �����ϱ� ���ؼ� ���� ��� �����ϵ��� ����. �ϻ��Ȱ���� ���� ����ϴ� �η縶�� ȭ������ �� ���� ���� 98 mm ���̴� 70 m �� �η縶�� ȭ�������� ���� ��ǰ�̶��� �� �ִ�. ��� �η縶�� ȭ������ ���� ��ǰ���� �������� �Ѵ�. ��ȭ������ ȭ���� 100 ���� �����Ͽ� ���̸� �����ϰ� ������ ��� <ǥ 1> �� ���� Ȯ�������� �����.
<ǥ 1> �η縶�� ȭ������ Ȯ������
���� (m) : X
��
Ȯ�� : P(x)
����Ȯ��
68
69
70
71
72
15
25
40
15
5
0.15
0.25
0.40
0.15
0.05
0.15
0.40
0.80
0.95
1.00
��
100
1.00
-
<ǥ 1> �� ��Ÿ�� Ȯ�������� �ð����� ������ �ۼ��ϸ� �� 1 �� ����.
�� 1 Ȯ������ ����
�� 1 ���� ��Ÿ�� �ٿ� ���� Ȯ�������� ������ ǥ���ϸ� �ڷ������� ������ ���� �ľ��� �� �ִ�. ���� �η縶�� ȭ������ 1,000 �� �����Ͽ� Ȯ�������� ��Ÿ���� �� 2 �� ���� �� ���̴�.
�� 2 �� �ڷ������� ��翡 ���Ͽ� Ȯ���е��� ��Ÿ�� �����μ� Ȯ�������� ���� ��� ������ Ȯ���� ���� ���� 1 �̴�. ���� ������ ���� �η縶�� ȭ������ �����Ͽ� �����ϰ� �����ߴٸ� �ڷ������� Ȯ���е��� �� 3 �� ���� �Ų����� ����� ��Ÿ�� ���̴�.
�� 2 Ȯ������ ����
�� 3 Ȯ���е��Լ� ����
�� 3 �� ���� �������� �Ų����� ��� Ȯ���е��Լ��� �Ѵ�. �ٽ� ���ϸ� Ȯ���е��Լ��� X ��� Ȯ�������� ����, Y ������ Ȯ�������� ���� ���� ���� ���� ��Ÿ�� Ȯ���� ǥ���� ��̴�. ���Ƿ� Ȯ���е��Լ��� Ȯ������ X �� ���� ���� ������ ���� ���� �����ǰų� �а� ����� ������ Ȯ���� ��Ÿ�� �Լ��̴�. ���� ����Ȯ���е��� �Լ� ���·� ǥ���ϱ� ���ؼ� P(x) ��� f(x) �� ��Ÿ����. ���� Ȯ���е��Լ� f(x) �� Ȯ���� �����ϴ� �Լ��μ� ������ ���� Ư���� �ִ�.
ù°, Ȯ���е��Լ� �Ʒ��� �ִ� ��ü������ 1 �̴�.
��� ������ ����� Ȯ���� ���� ���̱� ������ Ȯ���е��Լ��� ������ ���� 1 �̴�.
��°, Ȯ������ X �� ������ ���� �ȿ� ���� ���� �� Ȯ���� �� ���� ���� � �Ʒ� ������ ����.
X �� a �� b ���̿� ���� ���� �� Ȯ���� �� �������� ������ ���̴�.
��°, ����Ȯ���е��Լ� f(x) �� Ȯ�� ���� �����ϹǷ� �� 0 �̻� 1 ���� ���� ���´�.
����Ȯ���е��Լ� �߿��� ���� �߿��� Ȯ�������� ���Ժ����̴�.
2. ���Ժ���
�����Լ��� �̶� ������ ó�� ���������� ������ ����� ������ ������ ��ƺ긣 (A. D. Moivre, 1667~1754) �̴�. ���� ���ö� (P.D. Laplace, 1747~1827) �� ��� (normal curve) �� ���������� �����Ͽ���. ���� ������ ������ ���콺 (Karl F. Gauss, 1777~1825) �� ������ ���迡�� ������ ���� Ȯ�������� ����� ���ٴ� ���� �����Ͽ� ���Ժ��� (normal distribution) ��� �ҷ���. ���Ƿ� ���Ժ����� �ϸ� �����콺���� (Gaussian distribution)�� �� �θ�� �Ѵ�.
�ڿ����� ������ ���� ��ȸ���� ������ �м��� �� ���� ����ϰ� Ȱ��Ǵ� Ȯ�������� ���Ժ����̴�. �ֳ��ϸ� �����̳� ������ ���Ͽ� ������ �ڷ������� Ȯ�������� ��κ� ���Ժ����� ������ �����̴�. ���Ƿ� ���Ժ����� ���Ͽ� ��Ȯ�� �����ϴ� ���� �ſ� �߿��ϴ�. ���� � Ȯ������ X �� ����� �� �̰� �л��� �� ���Ժ��� �Ѵٸ�, Ȯ���е��Լ��� �� 1 �� ��Ÿ����.
���Ժ��� Ȯ���е��Լ� :
�� 1
�� 1 �� ��Ÿ�� ���Ժ�������� �������� ���������� ���� ���� ���¸� ���´�. ���Ժ��� ��ġ�� ��տ� ���Ͽ� �����ǰ�, �� ����� ǥ������ ũ� ���Ͽ� ��������. �̷��� ���Ժ����� Ȯ���е��Լ��� �ܼ��� ����̶�� �θ�� �Ѵ�. ���� ����� ǥ�������� ũ� ���� � ����� ��Ÿ����? �Ʒ� �� 4 �� ��հ� ǥ�������� ���� ����� ��Ÿ�� ���̴�.
�� 4 ����� ����
�� 4 ���� ������ ����� �� = 10, �� = 4 �� �� �����̰�, ������ ����� �� = 30, �� = 15 �� �� �����̴�. ���Ժ����� ��հ� ǥ�������� ������� ��� �� (bell) ������� ��Ÿ����, ����� �߽����� �¿� ��Ī�̴�. ���� ǥ������ ũ� ���� ���Ժ����� ����� ���°� �ٸ���. ǥ�������� ũ�� ���Ժ����� �а� ����� ����̰�, ǥ�������� ������ ���� ������ ������� ��Ÿ����. Ȯ������ X �� ��հ� ǥ�������� ���� ���Ժ����� ��ġ�� ����� �ٸ��� ��Ÿ������ ��� ���Ժ����� ���������� ������ ���� Ư���� ���´�.
ù°, ��� ���Ժ����� �� ����� ��Ÿ���� �¿� ��Ī�̴�.
���Ժ����� ����� �߽����� �¿� ��Ī�̸� �� ����� ��Ÿ����. ���Ƿ� ���Ժ����� ������ Ȯ������ X �� ��� �߾�ġ �ֺ�ġ�� ��� ����. ���� Ȯ������ X �� ���� ������ ���Ѵ��� �� �ִ�.
��°, ����� ��ġ�� ��� �� �� ���ؼ� ��������, �� ����� ǥ������ �� ũ� ���ؼ� �����ȴ�.
� ���Ժ������� �� = 10 �� �� ��� �߽� ��ġ�� 10 �̰�, �� = 30 �̸� ��� �߽� ��ġ�� 30 �̴�. ���� ǥ�������� ������ ���Ժ����� ���� ������ ������� ��Ÿ����, ǥ�������� ũ�� �а� ����� ���·� ��Ÿ����.
��°, �ڷ����ܿ� ���� ��հ� ǥ������ ũ��� �ٸ���. ���� ������κ��� k �� ǥ������ �̳� �������� Ȯ������ X ���� ���Ե� Ȯ���� ����. Ȯ������ X �� ����� �� �̰� �л��� �� ���Ժ����Ѵٸ�, �� �κ��� ±��, ±2��, ±3�� ���� ���� Ȯ������ ���� ���Ե� Ȯ���� ���� 68.3 %, 95.4 %, 99.7 % �̴�.
���� �η縶�� ȭ���� ���̴� ����� 70 m �̰� ǥ�������� 2 m �� ���Ժ����Ѵٸ�, 68 m ���� 72 m ���̿� ���̸� ���� ȭ������ ��ü �� 68.3 % �̴�. ���� 66 m ���� 74 m ���̿� ���̸� ���� ȭ������ ��ü �� 95.4 % �̴�. �̷��� ���Ժ������� Ȯ���� Ư���� ������ ��Ÿ���� �� 5 �� ����.
�� 5 ���Ժ����� Ȯ���� Ư��
���Ժ������� �� �� �� �� ���� Ȯ���� ������ �� 2 �� ����.
���Ժ������� Ȯ������ :
��
�� 2
��
��
�� 2 ���� �� �� ��Ÿ�� Ȯ�� 0.683 �� �翬�� ���Ժ����Լ� �� 1 �� ������ ���̴�. ��
�̷��� 3 ���� Ư���� ���� ���Ժ����� Ȯ���������� ���� �߿��� ��ġ�� �����Ѵ�. �ֳ��ϸ� �ڷ������� Ȯ������ ���´� ��κ� ���Ժ��� ����� ������ �����̴�. ������ �����̳� ������ ���Ͽ� ������ �ڷ������� �������� ������ ��Ÿ���� ��κ� ����� ���� ���� ����� ��Ÿ����. ���� ��� �η縶�� ȭ���� ����, ���� ������, ���丮 Ű ���� ������ �ڷ������� Ȯ�������� ��κ� ����� �߽����� �¿� ��Ī�� ���Ժ����� ������. �Ӹ� �ƴ϶� ǥ�� ��հ� ǥ�������� ���� Ȯ�������� ���Ժ����Ѵ�.
� �������κ��� ũ�Ⱑ ������ ǥ���� ������ ���� ������ �� �ִ�. ���� ǥ������ ���� ��հ� ������ ���Ժ����� ������. �̷��� ǥ�� ��跮�� ���� Ȯ�������� ����п��� �ſ� �߿��ϹǷ� ���� �� 6 �忡�� �ڼ��� ������ ���̴�. ���� ������������ ������ �ٿ� ���� �������� ������ Ȯ�������� ������ ǥ�� ũ�Ⱑ ����� ũ�� �������� ���Ժ����� �����Ѵ�. ���� �θ��ô뿡 ��� ���� �θ� (Rome) �� ���ߵ��� ��� Ȯ�������� ���Ժ����� ���Ѵ�.
3. ǥ�����Ժ���
Ȯ�������� X �� ����� �� �̰� �л��� ��2 �� ���Ժ����Ѵٴ� ���� ���� �� 3 �� ���� ������ ǥ������.
Ȯ������ X �� ���Ժ��� :
X ~ N (��, ��2)
�� 3
���� Ȯ������ X �� X ~ N (��, ��2) �� �����ٸ�, Ȯ������ X �� a ���� b ���̿� ���� ���� �� Ȯ���� ���Ժ����Լ��� ���� a ~ b ���� �������Ͽ� ���� �� �ִ�.
a ~ b ���̿� Ȯ�� :
�� 4
���� Ȯ�������� ���� �� ���� ������ Ȯ���� ���ϱ� ���Ͽ� �� ������ ���Ժ����Լ��� �� 4 �� ���� �����ϴ� ���� �ſ� ��ư� ���ŷο� ���̴�. �̷��� ��쿡�� Ȯ�������� ǥ��ȭ ������ ��ȯ�Ͽ� ǥ�����Ժ��� (standard normal distribution) �� ������ ���� ���ϴ� Ȯ���� ���ϸ� �ſ� �����ϴ�. ���⼭ Ȯ�������� ǥ��ȭ ������ ��ȯ��Ű�� ������ �˾ƾ� �Ѵ�. ǥ��ȭ ������ �������� Ȯ������ �����κ��� ����� �� ���̸� �ٽ� ǥ�������� ������ ���ο� Ȯ�������� ��ȯ��Ų ���� �ǹ��Ѵ�. ���Ӱ� ��ȯ�� Ȯ�������� ǥ�����Ժ��� (standard normal variable) �� �Ѵ�.
�ٽ� �����ϸ� Ȯ�������� ǥ��ȭ ������ ��ȯ��Ų ���� ǥ�����Ժ����̸� Z �� ǥ���ϰ� ǥ��ȭ ������ �� 5 �� ����.
ǥ��ȭ ���� (= ǥ�����Ժ���) :
�� 5
ǥ��ȭ ���� ��ȯ�� Z �� Ȯ�������� ǥ�����Ժ����� �ϸ� �� 6 ���� ��Ÿ����.
�� 6 ǥ�����Ժ���
�տ��� ������ �ٿ� ���� ��հ� ǥ�������� ũ� ���� ���Ժ����� ��ġ�� ����� �ٸ���. ���Ƿ� ���� �ٸ� ���Ժ����� ������ Ȯ�������� ���м��ϴ� ���� �ſ� ��ƴ�. �ֳ��ϸ� ������ � �������� Ȯ�������� ���� �� ���� Ȯ���� ����ϴ� ���� ���� �Ұ����ϱ� �����̴�. ���� ���Ժ����ϴ� Ȯ�������� ǥ��ȭ ���� Z �� ǥ��ȭ�Ͽ� ǥ�����Ժ����� �̿��ϸ� �����ϴ�. ǥ��ȭ ���� Z �� ����� 0 �̰� �л��� 1 �� ���Ժ����� ��Ÿ���� Ư���� �ִ�.
�̷��� ����� 0 �̰� �л��� 1 �� ���Ժ����� ǥ�����Ժ����� �ϰ� ������ Z ~ N(0, 1) �� ǥ���Ѵ�. ���� ������ ���Ͽ� ǥ�����Ժ����� Ư���� �˾ƺ���.
���� 1
1997 �� �ѱ� ǥ�ذ��п����������� ������ǥ��ü�����硹�� �ǽ��� �� �ִ�. �츮������ ���� 1979 �� ó������ ����ü�����縦 �ǽ��Ͽ��µ� �̹��� 4 ��° ���簡 �̷���� ���̴�. �� �������� ���ϸ� �츮���� ���� ���� (25 ~ 50 ��) �� �� ���̴� ������ ��� ����� 248 mm �̰� ǥ�������� 10 mm �� ���Ժ����Ѵ�. ���� ������ �� ���̴� ����� 228 mm �̰� ǥ�������� 9 mm �� ���Ժ����Ѵ�. ���� ���� �� ���̴� �Ű� �ٴϴ� �Ź� ũ�⺸�� �ξ� �۰� ��Ÿ����. �� ���̴� ������� �ٸ��Ƿ� ������ �� ���̸� Ȯ������ X �� ����.
(1) Ȯ������ X ���� ���� 238,258 �� �� �� �����Ǵ� ǥ��ȭ ���� Z ���� ���϶�.
(2) ǥ��ȭ ���� Z ���� ���� 1.5, -2.0 �� �� �� �����Ǵ� Ȯ������ X ���� ���϶�.
(3) P(-2.0 �� Z �� 2.0) = 0.954 �� ������Ű�� Ȯ������ X �� ������ ���϶�.
Ǯ�� 1
���� �� ���̸� Ȯ������ X �� ��Ÿ�±� ������ Ȯ������ X �� ����� 248 �̰� ǥ�������� 10 �� ���Ժ����Ѵ�.
(1) Ȯ������ X = 238, �Ǵ� 258 �� �� �����Ǵ� ǥ��ȭ ���� Z ���� �� 5 �� �̿��Ͽ� ���� ���� �� �ִ�.
�� X = 238 �� ��� �� = 248, �� = 10 �̹Ƿ�,
���� X = 238 �� �� ǥ��ȭ���� Z = -1.0 �̴�.
�� X = 258 �� ��� �� = 248, �� = 10 �̹Ƿ�,
���� X = 258 �� �� ǥ��ȭ���� Z = 1.0 �̴�.
(2) ǥ��ȭ ���� ���� �־����� �� �� �����Ǵ� Ȯ������ ���� ���ϴ� �����̴�. (1) �� ���������� �� 5 �� �̿��Ͽ� ���Ѵ�.
�� Z = 1.5 �� ��� �� = 248, �� = 10 �̹Ƿ�,
Ȯ������ X �� ���Ͽ� �ش��� ���ϸ� X = 248 + 1.5 (10) = 263 �̴�.
�� Z = -2.0 �� ��, �� = 248, �� = 10 �̹Ƿ�,
Ȯ������ X �� ���Ͽ� �ش��� ���ϸ� X = 248 + (-2.0)(10) = 228 �̴�. ���� Z = -2.0 �� �� X = 228 �̴�.
(3) ǥ��ȭ ���� Z �� –2.0 ���� 2.0 ���̿� ���� ���� �� Ȯ���� 95.4 % �̴�. ���� ǥ��ȭ���� Z �� –2.0 ���� 2.0 ���� �������� �����Ǵ� Ȯ������ X ���� ���ϸ� ������ ����.
���� �ε�� –2.0 �� Z �� 2.0 ��
=
= -20 �� X – 248 �� 20 : �� �� 248 �� ���Ѵ�.
= -20 + 248 �� X �� 20 + 248
= 228 �� X �� 268
���� Ȯ������ X �� ���� ������ 228 ���� 268 �����̴�.
���� ���Ժ����� ǥ�����Ժ����� ��� ���踦 �ΰ� �ִ��� ���캸��. ���� Ȯ������ X �� ����� �� �̰� �л��� ��2 �� ���Ժ����Ѵٸ�, X �� ���� ���� ��ȯ�� ǥ��ȭ ���� Z �� ����� 0 �̰� �л��� 1 �� ǥ�����Ժ����Ѵ�. Ȯ������ X �� ���Ժ����ϰ� X �κ��� ��ȯ�� ǥ��ȭ ���� Z �� ǥ�����Ժ����ϴ� ���踦 ������ ��Ÿ���� �� 7 �� ����.
�� 7 ���Ժ����� ǥ�����Ժ���
�� 7 ���� �� �� �ִ� �ٿ� ���� ���Ժ����� ������ Ȯ������ X �� ��� �� 248 �� �� �� �����ϴ� ǥ��ȭ ���� Z ���� 0 �̴�. ���� Ȯ������ X �� ������κ��� �� ���� ǥ�������� ���� ���� 238 �� �� �� �����ϴ� ǥ��ȭ ���� Z ���� –1 �̴�. ���� Ȯ������ X �� ������κ��� �� ��l ǥ�������� ū ���� 258 �� �� ǥ��ȭ ���� Z �� +1 �̴�.
�� 7 ���� ��Ÿ�� �ٿ� ���� Ȯ������ X �� ����� �� �̰� �л��� ��2 �� ���Ժ����� ��, Ȯ������ X �� �� + �� �̸� �����Ǵ� ǥ��ȭ ���� Z ���� 1 �̰�, Ȯ������ X �� �� + 2�� �̸� �����Ǵ� ǥ��ȭ ���� Z ���� 2 �̴�. ���� Ȯ������ X �� ����� �� ���� ���� �� ǥ��ȭ���� Z ���� �翬�� 0 �̴�. ���� ǥ��ȭ ���� Z �� ����� 0 �̰� �л��� 1 �� ���� ������ �����ϵ��� ����. �켱 ǥ��ȭ ���� Z �� ���Ͽ� ���ġ�� ���غ���.
���� ǥ��ȭ ���� Z �� ���� ���ġ�� 0 �̴�. �������� ǥ��ȭ ���� Z �� ���Ͽ� �л��� ���غ���. �л��� ���ǿ� ���� ǥ��ȭ ���� Z �� ���� �л��� ������ ����.
Var(Z) = E[Z-E(Z)]2, ���⼭ E(Z) = 0 �̴�.
���� ǥ��ȭ ���� Z �� ����� 0 �̰� �л��� 1 �� ǥ�����Ժ������� �� �� �ִ�. ���� ǥ�����Ժ����� ��� Ȱ��Ǵ��� ������ ���Ͽ� ���캸��.
���� 2
�������� ���� (TOEFL) ������ �����ϰ� �ִ� ����� �ѹ̱��������� (KAEC) �̴�. �ѹ̱��������ܿ����� �̱��̳� ij���ٿ� �����ϱ� ���� ���ý����� ������ �ѱ��л����� ������ ������ �� �ִ�. 1989 �� 7 ������ 2 �� ���� ������ 7 �� 7 õ�� ���� ���� ������ �����Ͽ���. �� �������� ������ 700 �� ���� ���ؿ��� �����ڵ��� ���������� ����� 504 ���̰� ǥ�������� 80 �� ���Ժ����Ѵ�.
(1) ���������� 504 ������ 584 �� ���̿� �ִ� �����ڴ� ��ü ����� �� % �ΰ�?
(2) 624 �� �̻� ���������� ����� �����ڴ� �� % �ΰ�?
(3) ���������� 344 �� ���Ϸ� ��Ÿ�� �����ڴ� �� % �ΰ�?
Ǯ�� 2
���� �������� ������ Ȯ������ x �� ����. ���� Ȯ������ x �� ����� 504 �̰� ǥ�������� 80 �� ���Ժ����Ѵ�. ������ ǥ���Ѵٸ�, X ~ N (504, 802) �̴�.
(1) ���������� 504 ������ 584 �� ���̿� Ȯ���� ���ϴ� ���̹Ƿ� ������ ���� Ȯ�������� ǥ���ȴ�.
P(504 �� X �� 584) = ?
���� ���� �ش��� ���ϵ��� ����.
; �η� ���� �����Ǵ� Ȯ���� ã���� 0.3413
= 0.3413
���� ���������� 504 ������ 584 �� ���̿� �ִ� �����ڴ� 34.13 % �̴�.
�̷��� ����� ��� ������ ���ϱ�? ǥ�����Ժ��� �Լ��κ��� ���� �� �ִ�. Ȯ������ X �� ����� �� �̰� �л��� ��2 �� ���Ժ��� �Ѵٸ�, ǥ��ȭ ���� Z �� �� 6 ���� ��Ÿ�� ǥ�����Ժ��� �Լ��� ���´�.
ǥ�����Ժ����Լ� :
Ȯ������ X �� ã�� ���� ������ ǥ��ȭ ���� Z �� ��ȯ�ϸ� Z �� ������ 0 ���� 1 �����̴�. ���� ǥ��ȭ ���� Z �� 0 ���� 1 ������ ���� ���� �� Ȯ���� ������ ����.
���� �ʿ��� Ȯ���� ���� ������ ǥ�����Ժ��� �Լ��� ������ �� ����. ���� Z �� ���� ���� ������ ���� Ȯ���� �η� ǥ�����Ժ���ǥ�� ���õǾ� �ִ�. ���Ƿ� �η� �� �ִ� ǥ�����Ժ���ǥ�� �̿��� �� �־�� �Ѵ�. ǥ�����Ժ����� ����� 0 �̰� �л��� 1 �� �¿� ��Ī�� ���Ժ����̴�. ���� Z ���� ������ ���� ���� ��� �ش�Ǵ� Ȯ���� ��Ÿ�� �ִ�. �η� �� ǥ�����Ժ����� ���鼭 �Ʒ��� �ش�Ǵ� Ȯ���� ã�ƺ���.
P(0.0 �� Z �� 1.0) = 0.3413, P(0.00 �� Z �� 1.11) = 0.3665
P(0.0 �� Z �� 1.64) = 0.4495, P(0.00 �� Z �� 1.96) = 0.4750
(2) 624 �� �̻� ���������� ����� �����ڴ� �� % �ΰ�? Ȯ���� �ǹ��ϴ� �������� ��Ÿ���� ������ ����.
P(X �� 624) = ?
���� ���� �ش��� ���ϵ��� ����.
P(X �� 624) ; ǥ��ȭ ��Ų��.
= P(Z �� 1.50) ; �η� ������ Z �� ���� 0 ���� 1.50 ������ Ȯ���� ��Ÿ�� �������� 0.5 ���� P(0 �� Z �� 1.50) �� ����.
= 0.5 – P(0 �� Z �� 1.50)
= 0.5 – 0.4332
= 0.0668
���� ���������� 624 �� �̻��� �����ڴ� 6.68 % �̴�.
(3) ���������� 344 �� ���Ϸ� ��Ÿ�� �����ڴ� �� % �ΰ�? Ȯ���� �ǹ��ϴ� �������� ��Ÿ���� ������ ����. P(X �� 344) = ? ������ ���� �ش��� ���ϵ��� ����.
P(X �� 344) ; ǥ��ȭ�ϸ�
= P(Z �� -2.0) ; Z �� ������ �� (-) ���� ��Ÿ������ 0 �� �߽����� �¿��Ī�̱� ������ �η� ���� �մ��� Ȯ���� ã�� 0.5 ���� P(0 �� Z �� 2.0) �� ����.
= P(Z �� 2.0)
= 0.5 – P(0 �� Z �� 2.0)
= 0.5 – 0.4772
= 0.0228
���� ���������� 344 �� ���Ϸ� ��Ÿ�� �����ڴ� 2.28 % �̴�.
���� 2 Ǯ�� �������� ������ �ٿ� ���� ǥ�����Ժ����� ��������� �ſ� �д�. ���� �ڷ������� ������ ���Ժ����� ���ٵȴٸ� �켱 ǥ��ȭ ������ ��ȯ�Ͽ� ǥ�����Ժ����� �̿��Ѵ�. ���� ǥ�����Ժ����� �������� �پ��ϰ� ����� �� �ִ�. �ڷ������� ���Ժ����� �����ٸ� �켱 Ȯ�������� ��հ� ǥ������ ���� ������ ǥ��ȭ ������ ��ȯ���� ǥ�����Ժ����� �����ؾ� �Ѵ�. ǥ�����Ժ����� ���� ����ɷ��� �⸣�� ���� �� �ٸ� ������ ���캸��.
���� 3
�츮 ��ü�� ���� �����Ǿ� �ִٰ� �ص� ����ģ ���� �ƴϴ�. ������ ���� ��ü������ �������� 75 % ��, ���� ��ü������ 60 % �� ���̴�. ���� ���� �� �ݽ��ϴ� ��쿡�� �ִ� 120 �� ���� ������ ����������, ���� ���� �ʰ� �ݽ��ϴ� ��쿡�� �ִ� 7 �� ���� ������ ������ ���̴�.
�츮���� ó������ ����� ���� ������ ���� 1908 ������ �ҵ� ������ (������ �뷮��) ���� 1 �δ� �Ϸ� 180 �� ���� ���� 12 ���� �� �����ߴٰ� �Ѵ�. �� �� ����� ������ �ظ��� �����Ǿ� 1996 �� ���� 83.6 % �� ���ϸ�, ���� 1 �δ� �Ϸ� ������ ��� 409 �� �� 1.5 �� ¥�� ��Ʈ������ 273 ���� �ش��Ѵ�. ����Ǿ��� K ���� ����翡�� 2 õ�� �л��� ��Ȱ�ϰ� �ִµ�, �Ϸ翡 �л� �� ���� ����ϴ� ������ ����� 500 �� �̰� ǥ�������� 100 �� �̸� ���Ժ����Ѵٰ� �Ѵ�.
(1) ����翡�� �Ϸ翡 450 �� ���� 600 �� ���̿� ���� ����ϴ� �л��� �� % �ΰ�?
(2) ����翡�� �Ϸ翡 550 �� ���� 700 �� ���̿� ���� ����ϴ� �л��� �� % �ΰ�?
(3) �Ϸ翡 400 �� �̻� ���� ����ϴ� �л��� �� % �ΰ�?
Ǯ�� 3
�Ϸ� �� ��뷮�� �������� �ʰ� �л��鸶�� ���Ѵ�. �� ��뷮�� Ȯ������ X �� ����. ���� Ȯ������ X �� ����� 500 �̰� ǥ�������� 100 �� ���Ժ��� �Ѵ�.
(1) P(450 �� X �� 600) = ?
P(450 �� X �� 600) ; ǥ��ȭ ��Ų��.
= P(-0.5 �� Z �� 1.0) ; ǥ�����Ժ��������� ���� ����κи� Ȯ���� ��Ÿ�� �ִ�.
= P(-0.5 �� Z �� 0.0) + P(0.0 �� Z �� 1.0)
= P(0.0 �� Z �� 0.5) + P(0.0 �� Z �� 1.0) ; �¿��Ī�̹Ƿ�
= 0.1915 + 0.3413
= 0.5328
���� �Ϸ翡 450 �� ���� 600 �� ���̿� ���� ����ϰ� �ִ� �л��� 53.28 % �̴�.
(2) P(550 �� X �� 700) = ?
P(550 �� X �� 700) ; ǥ��ȭ ��Ų��.
= P(0.5 �� Z �� 2.0)
= P(0.0 �� Z �� 2.0) – P(0.0 �� Z �� 0.5)
= 0.4772 – 0.1915
= 0.2857
(3) P(X �� 400) = ?
P(X �� 400) ; ǥ��ȭ ��Ų��.
= P(Z �� -1.0)
= 0.5 + P(0.0 �� Z �� 1.0)
= 0.5 + 0.3413
= 0.8413
���� �Ϸ翡 400 �� �̻� ���� ����ϴ� �л��� 84.13 % �̴�.
���� ���� �����ϰ� ǥ�����Ժ����� �̿��ϱ� ���� ǥ��ȭ ������ ���� ���� Ư¡�� ���캸��. Ȯ������ X �� ����� �� �̰� �л��� ��2 �� ���Ժ����Ѵٰ� ����. �� �� ��2 �� ���� ũ�� �۵� ������� Ȯ������ X �� ǥ��ȭ ���� Z �� ��ȯ�ϸ�, Z �� ����� 0 �̰� �л��� 1 �� ǥ�����Ժ����Ѵ�. ǥ��ȭ ���� Z �� ���� Ư���� ���� ������ ���� ǥ�����Ժ����� Ư���� Ȯ���� ��Ÿ����.
ǥ��ȭ ������ ������ Ȯ�� :
P(-1.64 �� Z �� 1.64) 0.900
P(-1.96 �� Z �� 1.96) = 0.950
P(-2.58 �� Z �� 2.58) = 0.990
�� 7
�� 7 �� Ư���� Ȯ���� ���Ͽ� ǥ��ȭ ���� Z ���� ���� �� ������ ��Ÿ�� ���̴�. ���� �� 7 �� �� 7 ��� �� 8 �忡�� ���� �� ������ �������� �ſ� �߿��� ������ �Ѵ�.
���� 4
���� �����̶�� �̾��ð����� �����ϴ� �츮 ������ ����⸸�� �ѿ���⸦ ã�´�. ���� 1974 �⸸ �ص� �츮���� ������ Ȳ�� ���Դ� ��� 289 kg �̾���. �� �� ���о߿��� ���� ������ ������� �ߴ� ���Ծ� �ѿ� ���Դ� ��� �þ ���ó� Ȳ�� ���Դ� ���� 500 kg ������ ���Ѵٰ� �Ѵ�.
�츮���� �����ϰ� �ִ� ���� 18 ���� �̻� �� Ȳ�� ���Դ� ����� 500 kg �̰� ǥ�������� 50 kg �� ���Ժ����Ѵٰ� ����. ���� �췮 �ѿ츦 ���� ���� �����ϱ� ���� ���� ���ſ� ������� 5 % �� �ش��ϴ� Ȳ�Ҹ� �����ϰ��� �Ѵ�. ���ٸ� ���� �� kg �̻��� Ȳ�Ҹ� �����ؾ� �ϴ°�?
Ǯ�� 4
Ȳ�� ���Ը� Ȯ������ X �� ����. ���� Ȯ������ X �� ����� 500 �̰� ǥ�������� 50 �� ���Ժ����ϹǷ� ���� ���� ���� ��Ÿ����. ���� �� = 500, �� = 50 �̴�.
������ ���� ���ſ� 5 % �� �ش��ϴ� �κ��� �˰� ��Ÿ�� �ֱ� ������ X0 �� �����Ǵ� ǥ��ȭ ���� Z ���� �� 7 �� ���ؼ� 1.64 ���� �� �� �ִ�. ���Ƿ� ���� ���� �����Ѵ�.
X0 = 1.64 (50) + 500 = 82 + 500
= 582
���� 582 kg �̻��� Ȳ�Ҹ� �����ؾ� �Ѵ�.
4. �������� ���Ժ��� ����
� Ȯ�������� �������� ��쿡 ǥ���� ũ�� Ȯ���� ����Կ� �־� �ſ� ���ŷӴ�. ���� ����Ȯ���� ���� ���� ���� ��� ����Ƚ���� ũ�� ������ ���´� ���Ժ����� �����Ѵٴ� ���� �� 4 �� 1 ������ ������ �� �ִ�. ���Ƿ� �������� ���Ժ����� ���ٽ��� ������ �� �ִ�. ���Ժ����� �߿��� ������ ��� �ִ�. ���� �������� ���Ժ����� ���ٵDZ� ���ؼ��� ��� ������ �ʿ����� ���캸��.
ù°, ǥ�� ũ�Ⱑ ����� Ŀ�� �Ѵ�.
��°, ����Ȯ���� �ſ� ũ�ų� ���� ���� �ʾƾ� �Ѵ�.
���� �������� ����� ����Ƚ�� n �� ũ�� ����Ȯ�� �� �� �ſ� ���� ������ �������� ���Ժ����� �����Ѵ�. ���� �������ϴ� Ȯ�������� ����Ƚ���� ũ�� ����Ȯ���� ����ϴٸ� ���Ƽۺ����� ������. ���� ��������� ���ļ� ���� �� 8 �� ������Ű�� �������� ���Ժ����� ���ٽ��� �м��Ͽ��� ������ ���� ������ �ʴ´�.
�������� ���Ժ��� ���� ���� :
(1) �� < 0.5 �� ���� n���� > 5 �� ���
(2) �� > 0.5 �� ���� n��(1-��) > 5 �� ���
�� 8
Ư�� n �� Ŭ �� �������μ� Ȯ���� ����ϴ� ���� �ſ� ���ŷο� ���̱� ������ ���Ժ����� ���ٽ��� �м��ϴ� ���� �����ϴ�. ���� �������� ���Ժ����� ��� ����Ǵ��� ���� ��� �����ϱ�� ����.
��ü�� ���� ����� �ν��ϴ� ���� �ɷ� �ٷ� �÷��̴�. �̱� �� ������������ ��ü �α��� 25 % �� �ٽ� ������ ���̰� �ִ�. ���� ���ݵ� ���� �ʿ����뿡 ��� ���ư� ����Ȱ�� �ϴ� �����ο��Դ� �ٽ� ������ ���� ����. �ٽô� ������ ȯ���� ������ �´ٰ� �ϴµ�, �츮���� �ߤ������� ��� �ٽ��� �л��� 20 % ��� �Ѵ�. ���� �츮���� �ߤ������� �߿��� 100 ���� ǥ������ �����Ͽ� �÷��� �˻��Ͽ���. �� �߿��� �ٽ��� �л��� 15 ������ 18 �� ���̷� ��Ÿ�� Ȯ���� ���Ͽ� ����.
���� �ٽ����� �ƴ��� �� ���� ����� ��Ÿ���� �����̱� ������ �ٽ��� �л� ���� �������� �Ѵ�. ���Ƿ� �������κ��� Ȯ���� ���� ���� �ִ�. N = 100, �� = 0.20 �̹Ƿ� X �� 15 ���� 18 ���̿� ���� �� Ȯ���� ���ϸ� �Ʒ��� ����.
�� �Ŀ��� �� �� �ֵ��� ����Ƚ�� n �� Ŭ ��쿡 Ȯ������ X �� ��� ������������ Ȯ���� ����Կ��� �ſ� ���ŷӰ� ��ƴ�. ���Ƿ� �������� ���Ժ����� ���ٽ��Ѽ� �ذ��ϵ��� ����.
��ü �ߤ������� �߿��� 100 ���� ǥ������ ���� ����� ���� ������ ����. ���� 100 ���� ������ ���� ǥ���� �����ߴٰ� ����. ���� ǥ������ �ٽ��� �л� ���� ���Ѵ�. �ٽ��� �л� ������ 20 % ��� �ؼ� �� ǥ������ �ٽ��� �л����� 20 ���� ��Ÿ������ �ʴ´�. ǥ���� ���� 18 ��, �Ǵ� 16 ��, �Ǵ� 22 �����ε� ��Ÿ�� �� �ִ�.
���� �ٽ��� �л� ���� Ȯ������ X �̴�. ���Ƿ� 100 ���� ������ ���� ǥ���� �̴´ٸ�, Ȯ������ X �� �� 8 �� ���� Ȯ�������� �� ���̴�.
�� 8 n = 100, �� = 0.20 �� �� ������
�� 8 ���� ��Ÿ�� �ٿ� ���� ������ ���� ǥ���� �ݺ��ؼ� �����Ѵٸ� Ȯ������ X �� ���Ժ����� �������� �� �� �ִ�. ���������� ���Ժ����� ������ �ڼ��ϰ� ���DZ� ���� X �� 15 ���� 18 ���� ��Ÿ�� Ȯ���� Ȯ���Ͽ� ������ �� 9 �� ����.
�� 9 15 �� X �� 18 ���� �������� ���Ժ���
�������� ���Ժ����� ���ٽ��� �м��Կ� �־ ��Ȯ���� �߱��� �ʿ䰡 �ִ�. �ֳ��ϸ� ���������� Ȯ�������� ���� ���� ���ϴ� �ݸ�, ���Ժ��������� �������� ���� ���� �����̴�. ���Ƿ� ���������� Ȯ������ X �� 15 ���� 18 ���̿� ���� ���� �� Ȯ���� ���Ժ��������� 14.5 ���� 18.5 ���̿� ���� ���Ե� Ȯ���� ���ؾ� �Ѵ�. ���� ���� �������� ������ �������Ѽ� Ȯ���� ���ؾ߸� ������ �Ѱ踦 ���� �� �ֱ� �����̴�. �̷��� ����Ȯ�������� ����Ȯ�������� ���ٽ�ų �� �����Ǵ� ���� �ݿø��� �����ؾ� �Ѵ�. �̰��� ������ ���Ӽ� ���� (continuity correction) �̶� �Ѵ�.
�̷��� ���Ӽ� ������ �̻�Ȯ�������� ����Ȯ�������� ���ٽ�Ű�� ������ ���Ǵ� ������ ���̱� ���ؼ� �ʿ��ϴ�. ����Ȯ�������� ����Ȯ�������� ���Ӽ��� �����ϱ� ���ؼ� �Ϲ������� 0.5 �� �����ְų� �Ǵ� ���� �ش�. �� ����Ȯ�������� a ���� b ���̿� ���� Ȯ���� ���ϱ� ���ؼ� ����Ȯ�������� �������Ѿ� �ϴ� ���� ���� a - 0.5 �� b + 0.5 �̴�. ���� ������ �����ϰ� �ִ� ����Ȯ������ X �� 15 ���� 18 ���̿� ���� ���� �� Ȯ���� ���ϴ� �����̴�. ���Ƿ� ���Ժ����� ���ٽ�ų ������ ���Ӽ� ������ ���� ����Ȯ�������� �����Ǵ� ���� 14.5 ���� 18.5 ���̿� Ȯ���� ���ؾ� �Ѵ�.
�� 4 �忡�� ������ �ٿ� ���� ����Ȯ������ X �� ���ġ�� n���� �̰� �л��� n����(1 – ��) �̴�. ���κ��� n = 100 �̰� �� = 0.20 �̹Ƿ� ����Ȯ������ X �� ���ġ�� 20 �̰� �л��� 16 ���� �� �� �ִ�. ���� ǥ�� ũ�Ⱑ ����� ũ�� ������ ���Ժ����� ���ٽ��� Ȯ���� ���Ѵ�. ������ ���� ǥ���� �̴´ٸ� �ٽ��� �л� ���� Ȯ������ X �μ� ����� 20 �̰� �л��� 16 �� ���Ժ����� �����Ѵ�. ���� P(15 �� X �� 18) �� ���Ӽ� �����Ͽ� P(14.5 �� X �� 18.5) �� ���Ѵ�.
P(14.5 �� X �� 18.5) ; ǥ��ȭ ��Ų��.
= P(-1.38 �� Z �� -0.38) ; �¿��Ī�����̹Ƿ�
= P(0.0 �� Z �� 1.38) – P(0.0 �� Z �� 0.38) ; ǥ�����Ժ����κ��� ���� ���ϸ�
= 0.4162 – 0.1480
= 0.2682
���� �ߤ������� ����� 100 ���� �̾��� �� �ٽ��� �л��� 15 ������ 18 �� ���̷� ��Ÿ�� Ȯ���� 26.82 % �̴�.
���� 5
�츮���� ����� ó�� ���� ������ ���� ���� 32 �� (1896 ��) �̴�. �츮 �ܷ��� �������� ����ϴ� '������' �� ������ '�¾��' ���� �ٲ� ���̴�. ������ �ս��̳� ���ΰ��������� ���������Ϥ����� ���� ����� ������ ������ ����Ͽ��Դ�. ���ٰ� ����� ����� ���� ����Ǿ��µ� �ٷ� �����ô뿴��.
������ �츮 ������ dz���� ��ȭ�� �ĸ��ϱ� ���� ������ ��å�� �ϳ�����. ���� �����ô� �� ������������ ����� ����ϴ� �Ϳ� ���Ͽ� �źΰ��� ����Ͽ���. ������ ���ó� �츮���� û�ҳ���� ��κ� �ڱ� ������ ��� ��¥�θ� �˰� �ִ�. û�ҳ� ��� �ڱ� ������ ���� ��¥�ε� �˰� �ִ� ������ 10 % ��� �Ѵ�. ���ٸ� û�ҳ� 100 ���� ǥ�� �������� �� �ڱ� ������ ���� ��¥�ε� �˰� �ִ� û�ҳ��� 12 �� �̻����� ��Ÿ�� Ȯ���� ���ΰ�?
Ǯ�� 5
�ڱ� ������ ���� ��¥�� �˰� �ִ��� ���� �� ���� ���� ��Ÿ���� �������̴�. ������ ���� ��¥�� �˰� �ִ� û�ҳ� ���� Ȯ������ X �� ����. ���� X �� ����Ȯ�������̴�. �����κ��� n = 100, �� = 0.10 �̹Ƿ� X �� ��հ� �л��� ���Ѵ�.
�� = E(X) = n���� = 100(0.10) = 10
��2(X) = n�����(1 – ��) = 100(0.10)(0.90) = 9
���� Ȯ������ X �� 12 �̻��� ���� ���� �� Ȯ���� ���� ���� �� �ִ�. ǥ���� ����� ũ�� ������ �������� ���Ժ����� ���ٽ��� Ȯ���� ���� �� �ִ�.