해당 포스트는 유투브 혁펜하임을 참조해서 작성하였습니다.
미분식 dx(t)/dt 푸리에 변환(Fourier Transform)하기
미분식 dx(t)/dt를 푸리에 변환 수식으로 전개해서 푸는 방법 보다는 역푸리에변환(Inverse Fourier Transform)을 이용해서 쉽게 풀이할 수 있습니다.
수식(1)은 역푸리에 변환 수식입니다. 푸리에 변환은 1대1 변환이 가능하기 때문에 역푸리에 변환값을 구하면 변환 전 값을 알 수 있습니다.
수식(1)을 t에 대해 미분하겠습니다. 수식(1)의 우변은 오메가(ω)로 적분 되기 때문에 오일러 지수의 t 부분만 미분을 하면 됩니다.
수식(2)에서 빨간색 부분이 미분식에 1대1 매칭이므로 미분식에 대한 푸리에 변환 값은 jwX(w)가 됩니다.
미분식 dx(t)/dt 푸리에 변환(Fourier Transform)하기
미분방정식(LCCDE)에 대해 왜 사용하는지와 언제 사용하는지에 대해 앞서 알아보았습니다(//scribblinganything.tistory.com/618).
위와 같은 수식(3)의 미분 방정식이 있을 경우 입력을 x 출력을 y로 생각했을 때 해당 시스템이 LTI 시스템을 통과할 경우 전달 함수(H) 또는 임펄스 응답(Impulse Response, H)를 구할 수 있습니다. 이를 구하는 방법에 대해 풀이 해보겠습니다.
수식(3)을 수식(2)를 사용해서 푸리에 변환하면 수식(4)와 같이 나옵니다.
전달함수(임펄스 응답)은 아래와 같습니다.
수식(5)는 주파수에서의 전달함수 값입니다. 수식(5)의 값을 다시 역푸리에변환을 하면 아래와 같이 나옵니다.
역변환은 푸리에 변환 테이블을 이용하면 쉽게 구할 수 있습니다.
적분식 푸리에 변환(Fourier Transform)하기
수식(7)과 같은 적분식을 푸리에 변환하는 방법에 대해 알아보겠습니다.
수식(7)은 수식(8)과 같이 Step Function(스텝 함수) u(t)를 위와 같이 적분한 형태와 동일 합니다. 그리고 이는 컨볼루션(Convolution)의 적분식과 동일한 형태입니다.
컨볼루션 값을 푸리에 변환하면 간단하게 주파수(Frequency)에서 곱의 형태로 표현 될 수 있습니다.
스텝함수(Step Function, u(t))의 푸리에 변환을 변환 테이블에서 찾으면 수식(10)과 같습니다. 이를 수식(9)에 대입하면 최종적으로 아래와 같이 구할 수 있습니다.
푸리에 변환을 이용한 미분 방정식의 풀이
📂푸리에해석
푸리에 변환을 이용한 미분 방정식의 풀이
how to solve heat equation using fourier analysis
설명
푸리에 급수와 푸리에 변환은 열 방정식을 풀기 위해 등장한 개념이다. 물론 열 방정식 뿐만 아니라 조건을 만족한다면 다른 미분 방정식을 풀 때도 사용할 수 있다. 특히 푸리에 급수는 양자 물리학에서 입자의 에너지를 슈뢰딩거 방정식을 통해서 계산할 때 사용된다. 많은 물리학과 학생들은 그것이 푸리에 급수라는 것인지는 모르고 사용하긴 하지만 말해주면 뭔지는 안다.주어진 미분 방정식의 조건에 따라서 푸리에 변환과 푸리에 급수 둘 중에 어느 것을 사용해야하는지가 정해진다. 문제에서 주어진 범위가 유한할 때는 푸리에 급수를, 문제에서 주어진 범위가 무한할 때는 푸리에 변환을 사용한다.
풀이
다음과 같은 열 방정식이 주어졌다고 하자
$$ u_{t}=k u_{xx} (-\infty < x< \infty) $$
$$
u(x,0)=f(x) ( -\infty < x< \infty)
$$
양수인 시간 $t$에 대해서 경계조건이 없다. $u$와 $f$가 급격히 감소하여 $x \rightarrow \pm \infty$일 때 $0$으로 수렴한다고, 즉 $L^1$ 함수 라고 가정하자. 그러면 푸리에 변환이 존재한다. $x$에 대한 푸리에 변환을 주어진 미분 방정식에 적용하면
$$ \mathcal{F} [u_{t}] (\xi,\ t) = k \mathcal{F}[u_{xx}] (\xi,\ t) $$
푸리에 변환의 성질 $\hat{[f^{\prime}]}=i\xi \hat{f}$을 우변에 적용하면
$$ \mathcal{F} [u_{t}] (\xi,\ t) = -k\xi^{2} \hat{u}(\xi,\ t) $$
이때 좌변을 풀어서 적으면 $\int u_{t}e^{-i\xi x}dx$인데 조건이 좋아서 적분과 미분의 순서를 바꿀 수 있다고 가정하자. 보통의 경우 마음대로 미분과 적분 순서를 바꾸는 것이 불가능하지만 이런 유형의 문제를 풀 때는 거의 다 성립하므로 크게 신경쓰지 않아도 괜찮다. 그러면 $u$의 미분의 푸리에 변환이 $u$의 푸리에 변환의 미분과 같다. 따라서 주어진 미분 방정식은 아래와 같은 간단한 상미분 방정식이 된다.
$$ \dfrac{\partial \hat{u}}{\partial t}(\xi,\ t) = -k\xi^{2} \hat{u}(\xi,\ t) $$
고정된 $\xi$에 대해서 위의 미분 방정식을 풀면
$$ \hat{u}(\xi,\ t) = \hat{f} (\xi) e^{-k\xi^{2}t} $$
양변에 푸리에 역변환 을 취하면
$$ \begin{equation} u(x,\ t) =\dfrac{1}{2\pi}\int \hat{f}(\xi) e^{-k\xi^{2} t}e^{i\xi x} d\xi \label{eq1} \end{equation} $$
이를 $u$에 대한 푸리에 적분 공식Fourier integral formula이라 부른다. 위 식을 푸리에 변환과 합성곱의 성질을 이용하여 간단하게 나타낼 것이다. 푸리에 변환의 성질 $(d)$ $\mathcal{F} [f \ast g]=\hat{f}\hat{g}$의 양변에 역변환을 취해주면
$$ f \ast g=\mathcal{F}^{-1}[\hat{f} \hat{g}] $$
$\eqref{eq1}$의 $e^{-k\xi ^{2}t}$를 어떤 함수의 푸리에 변환이라고 두면 위의 식을 이용할 수 있다. 구체적으로 $\mathcal{F}[K_{t}] (\xi)=e^{-k\xi^{2} t}$라고 하자. 그러면 식 $\eqref{eq1}$은
$$ \begin{align*} u(x,\ t) &= \dfrac{1}{2\pi} \int \hat{f}(\xi) \hat{K_{t}}(\xi) e^{i\xi x} d\xi \\ &= \mathcal{F}^{-1}[\hat{f}\hat{K_{t}}] (x) \\ &= f \ast K_{t}(x) \end{align*} $$
이제 $K_{t}$를 구할 차례이다. 처음 정의했던 식의 양 변에 역변환을 취하면
$$ \begin{align*} K_{t}(x)= \mathcal{F}^{-1} \mathcal{F}[K_{t}] (x) &= \mathcal{F}^{-1} \left[ e^{-k\xi ^{2} t} \right] \\ &= \dfrac{1}{2\pi} \int e^{-k\xi^{2} t}e^{i\xi x} d\xi \\ &= \dfrac{1}{2\pi} \int e^{-k\xi^{2} t}e^{-i\xi (-x)}d\xi \\ &= \dfrac{1}{2\pi} \mathcal{F} \left[e^{-k\xi^{2}t} \right] (-x) \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{4\pi kt}}e^{-x^{2}/4kt}dx \end{align*} $$
마지막 수식은 가우스 함수의 푸리에 변환 공식 으로 간단히 얻을 수 있다. 따라서 이를 $u$에 대입하면
$$ \begin{align*} u(x,\ t) &= f \ast K_{t}(x) \\ &= \int f(y) K_{t}(x-y) dy \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{4 \pi kt}} \int f(y) e^{-(x-y)^{2}/4kt}dy \end{align*} $$
처음 주어진 미분 방정식의 조건에 $u(x,\ 0)=f(x)$가 있었으므로 $\lim \limits_{ t\rightarrow 0} u(x,\ t)=\lim \limits_{ t\rightarrow 0} f \ast K_{t}(x)=f(x)$라면 $f$가 적절하고 위 문제에 잘 들어맞는 해라고 할 수 있다. 물론 실제로 성립하고 증명할 수 있다.
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